3. Elektromagnetismus

Časť A vyžaduje znalosť vektorového kalkulu, zatiaľ čo časť B nie a môžete ju riešiť aj bez A. V časti A odvodíme známy Larmorov vzorec pre výkon vyžiarený zrýchľujúcim nábojom. V časti B si ukážeme dve zaujímavé využitia tohto vzorca.

Časť A

V tejto časti uvažujeme zoskupenie nábojovej hustoty, ktorá je lokalizovaná v malej časti priestoru a odvodíme, aké elektrické a magnetické pole pozoruje pozorovateľ ďaleko vzdialený od tohto zoskupenia. Takto sa napríklad zvyknú modelovať antény.

Keďže \(\nabla \cdot \vec B = 0\), magnetické pole v priestore sa dá všeobecne napísať ako \(B = \nabla\times \vec A\) pre nejaký vektorový potenciál \(\vec A(\vec x, t)\). (Nasleduje motivácia) podobne ako pri (statickom) elektrickom poli, kde \(\vec E = -\nabla \phi\). Potom vieme z Coulombovho zákona, že \[ \phi(\vec x) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_\mathcal{V} \frac{\rho(\vec x')}{\left|\vec x - \vec x'\right|} \mathrm{d}^3\vec x', \] kde \(\mathcal{V}\) je objem, v ktorom sa nachádza nábojová hustota \(\rho\) a \(\vec x'\) je integračná premenná.

Pre \(\vec A\) vo veľkej vzdialenosti \(r = |\vec x|\) od lokalizovanej prúdovej hustoty \(\vec J\) platí vo všeobecne dynamickej situácii \[ \vec A(\vec x, t) = \frac{\mu_0}{4\pi r} \int\limits_\mathcal{V} \vec J(\vec x', t- r/c) \mathrm{d}^3\vec x' \quad + \quad \mathcal O\left(\frac{d}{\tau c}\right), \] kde \(d\) je charakteristický rozmer priestoru s nenulovou \(\vec J\) a \(\tau\) je charakteristický čas, na ktorej sa \(\vec J\) mení. \(O\left(\frac{d}{\tau c}\right)\) teda obsahuje relativistické korekcie.

1. Odôvodnite, prečo sa v argumente času \(\vec J\) v integráli nachádza \(t - r/c\) a nie \(t\).

2. S využitím toho, že \[ \frac{\partial}{\partial x_j}(J_j x_i) = \left(\frac{\partial}{\partial x_j} J_j\right) x_i + J_i = -\dot \rho x_i + J_i \] a Gaussovej integrálnej vety (divergence theorem) preveďte integrál pre \(\vec A(\vec x, t)\) do podoby \[ \vec A(\vec x, t) = \frac{\mu_0}{4\pi r} \dot{\vec{p}}(t - r/c) \quad + \quad O\left(\frac{d}{\tau c}\right), \] kde \(\vec p\) je dipólový moment zoskupenia nábojov \(\rho\).

3. Pomocou \(\vec A\) vypočítajte \(\vec B\). Čo musí platiť, aby sme mohli približne ignorovať člen \(1/r^2\) a ponechať len \(1/r\)? V nasledujúcich výpočtoch pokračujte už len s členom úmerným \(1/r\).

4. Nájdite elektrické pole \(\vec E\) do \(\mathcal O(1/r)\) ďaleko od zdroja. (Nápoveda: stačí vám k tomu Ampérov zákon v tvare \(\dot E = c^2 \nabla\times \vec B\))

5. Tok výkonu elektromagnetického žiarenia je daný Poyntingovým vektorom \(\vec S = \frac{1}{\mu_0} \vec E \times \vec B\). Nájdite \(\vec S\) vo veľkej vzdialenosti od zdroja. Integrovaním \(\vec S\) cez povrch gule polomeru \(R\) a urobením limity \(R\to \infty\) ukážte, že vyžiarený výkon je \[ \mathcal P = \frac{\mu_0}{6\pi c} \left|\ddot{\vec p}\right|^2. \]

6. Objasnite, aké podmienky musia platiť, aby bol predošlý výsledok dobrou aproximáciou.

Časť B

1. Použitím rovnice z časti A, podúlohy (v) ukážte, že v klasickej fyzike elektrón obiehajúci okolo protónu po kružnicovej trajektórii je nestabilný a odhadnite za aký čas (rádovo) skolabuje. (Toto bol jedným z problémov klasickej fyziky, ktorý kvantová fyzika vyriešila).

2. Nerelativistická častica s hmotnosťou \(m\) a nábojom \(q\) sa hýbe v 1D v kladnom \(x\) smere a narazí na „schodový potenciál“ \[ V(x) = \begin{cases} 0 & x < 0, \\ f(x) & 0 \leq x \leq L, \\ V_0 & L < x, \end{cases} \] kde \(f: [0, L] \to \mathbb R\) je monotónne rastúca, diferencovateľná funkcia s \(f(0) = 0\) a \(f(L) = V_0 > 0\).

   1. Predpokladajte, že vyžiarená energia je zanedbateľná v porovnaní s celkovou energiou častice \(E\), teda \[ E = \frac{1}{2}m \dot x^2 + V(x) \] sa počas pohybu častice nemení. Pre \(E > V_0\) ukáže, že celkový vyžiarený výkon je \[ \Delta E_{\text{Rad}} = \frac{q^2 \mu_0}{6\pi m^2 c} \sqrt{\frac{m}{2}} \int\limits_{0}^{L} \frac{1}{\sqrt{E - f(x)}} \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)^2 dx. \]

      Nájdite podobný vzorec pre \(\Delta E_{\text{Rad}}\) v prípade, že \(E < V_0\).

   2. Zoberme si jednoduchý príklad \(f(x) = V_0 x / L\). Vyjadrite explicitne \(\Delta E_{\text{Rad}}\) v oboch prípadoch \(E < V_0\) aj \(E > V_0\). Nakreslite graf \(\Delta E_{\text{Rad}}\) od \(E\). Pre aké \(E\) je \(\Delta E_{\text{Rad}}\) maximálne?

   3. Zopakujte (\(\beta\)) pre \(f(x) = V_0 x^2/L^2\).

   4. Zovšeobecnite pozorovanie toho, kedy nastáva maximum \(\Delta E_{\text{Rad}}\) a dokážte svoje tvrdenie pomocou časti (\(\alpha\)).