Predstavme si mriežku štvorčekov. Každý štvorček môže byť obsadený s pravdepodobnosťou $p$ alebo byť prázdny s pravdepodobnosťou $1-p$. Obsadenosť každého štvorčeka je náhodná.

Ak je $p$ malé, môžeme vidieť niekoľko malých ostrovčekov obsadených štvorčekov v prázdnom „oceáne“ neobsadenenej mriežky. Ako postupne zvyšujeme $p$, malé ostrovčeky (clustre) sa zväčšujú, až nastane situácia, kedy existuje spojitý prechod z ľavej strany mriežky na pravú stranu mriežky (tzv. perkolácia).

Dvojrozmerná štvorcová mriežka pri pravdepodobnosti obsadenosti $p = 0.4$ a $p = 0.1$. Na obrázku sú obsadzované hrany štvorčekov, nie samotné štvorčeky. Ide však o tú istú úlohu.

Táto jednoduchá myšlienka je základom teórie perkolácie. Vyzerá jednoducho, ale má bohaté aplikácie v problémoch reálneho života, ako sú napríklad lesné požiare alebo tok kvapalín cez pórovitú štruktúru (viď Introduction to percolation theory od Stauffer a Aharony).

V tejto úlohe budeme študovať štvorcové mriežky a budeme hľadať medznú hodnotu $p_c$, pri ktorej sa objaví perkolujúci stav.

Perkolácia v 1D

Uvažujme jednorozmernú mriežku (pásik) veľkosti $N$, kde každý bod mriežky je obsadený s pravdepodobnosťou $p$. Spočítajte počte clusterov, t.j. počet obsadených súvislých polí pri danej pravdepodobnosti $p$. Nájdite medznú hodnotu $p$ (fázový prechod) $p_c$, pri ktorej bude najväčší cluster makroskopicky veľký. Ak označíme $N_{lc}$ veľkosť najväčšieho clustra a $N_o$ počet obsadených bodov na pásiku, tak veľkosť perkolujúceho clustra je $P = N_{\mathrm{lc}} / N$.

Opakujte merania pre rozličné hodnoty $N$ a na ich základe dajte predpoveď $N \rightarrow \infty$.

Perkolácia v 2D

Druhý rozmer prináša nový stupeň voľnosti, v ktorom môže cluster rásť, preto by mala byť medzná hodnota $p_c$ iná.

Uvažujme dvojrozmernú štvorcovú mriežku rozmeru $N \times N$. Ako v predcházajúcom prípade, nájdite medznú hodnotu $p_c$, kedy veľkosť najväčšieho clustra začína rapídne rásť.

Ak zvolíme $p>p_c$ $P$ je úmerné $(p - p_c)^\alpha$, kde $\alpha$ je tzv. kritický exponent. Nájdite numerickú hodnotu tohto exponentu.

(Bonus) Perkolácia v 3D

Nájdite medznú hodnotu a kritický exponent aj pre tento prípad.

Ako na to?

• Počet clustrov a ich veľkosť môžete spočítať napríklad aj pomocou flood fill algoritmu. Avšak s naivnou implementáciou si nevystačíte, keďže sa dopracujete k problému stack overflow, teda pretečeniu zásobníka s inštrukciami.

• V simulácii použite periodické okrajové podmienky.

• Pre každú hodnotu $p$ a $N$ vykonajte niekoľko simulácie a následne zoberte priemerné hodnoty.