V tejto úlohe sa pozrieme na dynamiku vo vzduchu vo veľmi dlhých vlakoch. Budeme uvažovať zjednodušený model, v ktorom nie sú vozne od seba odseparované, takže tvoria jeden veľký priestor dĺžky $\SI{200}{\metre}$. Vo všetkých vozňoch sú zatvorené okná, takže žiadny vzduch nemôže vstúpiť ani opustiť tento veľký priestor (táto aproximácia nemá príliš ďaleko od slovenskej reality). Keďže vlak je rádovo dlhší ako širší, v princípe budeme riešiť jednorozmerný problém, takže všetky nasledujúce rovnice sa príslušným spôsobom zjednodušia.

Stacionárny režim

V tejto časti skúsime sa pokúsime nájsť distribúciu vzduchu vnútri v prípade, že vlak prichádza alebo opúšťa stanicu. Na vzdialenostiach väčších, ako je stredná dráha molekúl vo vzduchu, sa vzduch správa v princípe ako tekutina. V inerciálnej vzťažnej sústave vzduchu spĺňa rovnicu kontinuity $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\vec{v}) = 0 $$

a Eulerovu rovnicu (Newtonov druhý zákon pre tekutiny) $$ \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v} \cdot \nabla \vec{v} = - \frac{\nabla p}{\rho} + g\text{,} $$

kde $\rho(x,t)$ je hustota vzduchu vzduchu, $p(x,t)$ je tlak, $v(x,t)$ je rýchlosť tekutiny a $g$ je tiažové zrýchlenie. Na to, aby sme vyriešili tento systém rovníc, potrebujeme ešte nejakú rovnicu, ktorá nám previaže hustotu a tlak – stavovú rovnicu. Budeme predpokladať, že vzduch vo vlaku môžeme aproximovať ako ideálny plyn, čiže platí $$ p = \rho R T\text{,} $$

kde $R = \SI{290}{\joule\per\kilogram\per\kelvin}$ je špecifická konštanta pre vzduch. Prítomnosť rušňa a niekoľko málo pasiažierov udržuje vzduch vnútri vlaku na konštantnej teplote $T = \SI{300}{\kelvin}$. Predpokladáme, že počas prichádzania resp. odchádzania zo stanice sa vlak pohybuje s konštantným zrýchlením $a$.

1. Ako musíme zmeniť Eulerovu rovnicu, aby sme ju mohli použiť v neinerciálnej vzťažnej sústave?

2. Pozrime sa najprv na stacionárne riešenie v termodynamickej rovnováhe. Vypočítajte hustotu vzduchu $\rho_{\text{eq}}(x)$ ako funkciu pozície $x$ vnútri vlaku.

3. Ak označíme $\overline{\rho}$ priemernú hustotu vzduchu pozdĺž vlaku a $\delta\rho_{\text{eq}}(x) = \rho_{\text{eq}}(x) - \overline{\rho}$ odchýlku od priemernej hodnoty, nájdite odhad pre maximálnu bezrozmernú odchýlku hustoty $$\delta_{\text{eq}}(x) = \frac{\rho_{\text{eq}}(x)}{\overline{\rho}}-1\text{.}$$

Pociťovanie tlaku

Isto poznáte, že keď si dáte hlavu pod vodu, hydrostatický tlak na ušný bubienok začne byť dostatočne cítiť aj v hĺbke okolo $20 \, \text{cm}$.

4. Aké je minimálne zrýchlenie vlaku, pri ktorom človek stojaci na konci vlaku pocíti rozdiel svojimi ušami? Predpokladáte, že je možné pocítiť tento rozdiel v typickom vlaku? Vysvetlite tento rozdiel aj pomocou typického zrýchlenia vlaku. Porovnajte výsledky pre vlak s typickým dopravným lietadlom.

Keďže $\delta$ je malá, môžeme časový vývoj vzduchu vnútri vlaku opisovať linearizovanými rovnicami pre prúdenie tekutín. Pre malé adiabatické zmeny sú zmeny hustoty a tlaku jednoducho previazané nasledujúcou rovnicou, $$ \delta p(x,t) \equiv p(x,t)-\overline{p} = \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)\delta\rho(x,t) \equiv c_{\text{s}}^2\delta\rho(x,t)\text{,} $$

kde $c_{\text{s}}$ je (adiabatická) rýchlosť vzduchu.

5. Využite predcházajúci vzťah na to, aby ste vylúčili tlak z Eulerovej rovnice. Rozviňte rovnice kontinuity a Eulerovej rovnice do prvého rádu v malých zmenách $\delta$ a $v$ okolo statického homogénneho riešenia v pokoji $$ \rho(x,t) = \overline{\rho}\left(1+\delta(x,t)\right)\text{.} $$

Kombináciou týchto dvoch rovníc (alebo ich derivácií) nájdite jednu rovnicu pre $\delta$. Stručne opíšte riešenie tejto rovnice.

Vlna v zrýchľujúcom vlaku

Rozviňte rovnice kontinuity a Eulerovej rovnice do prvého rádu v malých zmenách $\delta$ a $v$ okolo statického, ale nehomogénneho riešenia v prípade, že vlak zrýchľuje s konštantným zrýchlením. $$ \rho(x,t) = \rho(x) \left(1+\delta(x,t)\right)\text{.} $$ Využitím niekoľkých predchádzajúcich rovníc nájdite riešenie pre $\delta(t,x)$.