Predstavme si mriežku štvorčekov. Každý štvorček môže byť obsadený s pravdepodobnosťou $$p$$ alebo byť prázdny s pravdepodobnosťou $$1-p$$. Obsadenosť každého štvorčeka je náhodná.

Ak je $$p$$ malé, môžeme vidieť niekoľko malých ostrovčekov obsadených štvorčekov v prázdnom „oceáne“ neobsadenenej mriežky. Ako postupne zvyšujeme $$p$$, malé ostrovčeky (clustre) sa zväčšujú, až nastane situácia, kedy existuje spojitý prechod z ľavej strany mriežky na pravú stranu mriežky (tzv. perkolácia).

* Dvojrozmerná štvorcová mriežka pri pravdepodobnosti obsadenosti $$p = 0.4$$ a $$p = 0.1$$. Na obrázku sú obsadzované hrany štvorčekov, nie samotné štvorčeky. Ide však o tú istú úlohu. *

Táto jednoduchá myšlienka je základom teórie perkolácie. Vyzerá jednoducho, ale má bohaté aplikácie v problémoch reálneho života, ako sú napríklad lesné požiare alebo tok kvapalín cez pórovitú štruktúru (viď Introduction to percolation theory od Stauffer a Aharony).

V tejto úlohe budeme študovať štvorcové mriežky a budeme hľadať medznú hodnotu $$p_c$$, pri ktorej sa objaví perkolujúci stav.

Perkolácia v 1D

Uvažujme jednorozmernú mriežku (pásik) veľkosti $$N$$, kde každý bod mriežky je obsadený s pravdepodobnosťou $$p$$. Spočítajte počte clusterov, t.j. počet obsadených súvislých polí pri danej pravdepodobnosti $$p$$. Nájdite medznú hodnotu $$p$$ (fázový prechod) $$p_c$$, pri ktorej bude najväčší cluster makroskopicky veľký. Ak označíme $$N_{lc}$$ veľkosť najväčšieho clustra a $$N_o$$ počet obsadených bodov na pásiku, tak veľkosť perkolujúceho clustra je $$P = N_{\mathrm{lc}} / N$$.

Opakujte merania pre rozličné hodnoty $$N$$ a na ich základe dajte predpoveď $$N \rightarrow \infty$$.

Perkolácia v 2D

Druhý rozmer prináša nový stupeň voľnosti, v ktorom môže cluster rásť, preto by mala byť medzná hodnota $$p_c$$ iná.

Uvažujme dvojrozmernú štvorcovú mriežku rozmeru $$N \times N$$. Ako v predcházajúcom prípade, nájdite medznú hodnotu $$p_c$$, kedy veľkosť najväčšieho clustra začína rapídne rásť.

Ak zvolíme $$p>p_c$$ $$P$$ je úmerné $$(p - p_c)^\alpha$$, kde $$\alpha$$ je tzv. kritický exponent. Nájdite numerickú hodnotu tohto exponentu.

(Bonus) Perkolácia v 3D

Nájdite medznú hodnotu a kritický exponent aj pre tento prípad.

Ako na to?

• Počet clustrov a ich veľkosť môžete spočítať napríklad aj pomocou flood fill algoritmu. Avšak s naivnou implementáciou si nevystačíte, keďže sa dopracujete k problému stack overflow, teda pretečeniu zásobníka s inštrukciami.

• V simulácii použite periodické okrajové podmienky.

• Pre každú hodnotu $$p$$ a $$N$$ vykonajte niekoľko simulácie a následne zoberte priemerné hodnoty.