1. Cesta okolo sveta za 80 dní

Samo a Mary pozerali film Cesta okolo sveta za 80 dní a zaujalo ich, aký efekt môže mať špeciálna teória relativity na dobu trvania takejto cesty. Nedalo im to, a tak si každý vybrali pero a papier a začali rátať. Uvažovali cestovateľa pohybujúceho sa po rovníku konštantou rýchlosťou \(v \ll c\).

Samo najprv argumentoval, že určite bude tento efekt zanedbatelný, veď rýchlosti parníkov boli v 19. storočí nie zrovna podobné rýchlosti svetla. Mary však nedalo a ako dlhoročná riešiteľka FKS tušila, že to nebude také jednoduché. A naozaj, vyšlo jej, že časová dilatácia bude nenulová aj pre nekonečne pomalého cestovateľa.

Rozmyslite si, na čo Samo zabudol a pomôžte mu rozlúsknuť tento problém. Konkrétne, spočítajte veľkosť tejto relativistickej časovej dilatácie medzi hodinami, ktoré sú celý čas umiestnené na tom istom bode na rovníku a takými, ktoré sa vydajú na (pomalú) cestu okolo sveta po rovníku rýchlosťou \(v\). Ukážte, že výsledok je nenulový a v prvom ráde nezávisí od rýchlosti \(v\).

Ako sa zmení výsledok, keď trajektória nebude rovnobežka?

Hint k poslednej časti

Oplatí sa pozrieť na trajektóriu z ortografickej projekcie so stredom umiestneným v severnom póle¹. Odporúčame trajektóriu parametrizovať pomocou uhlov ako závislosť \(\theta (\phi)\), kde \(\theta, \phi\) majú bežný význam ako uhly v sférických súradniciach.