3. Asteroidy a steroidy

Majme oblak asteroidov, kde sa nachádzajú v koncentrácii \(n\) (počet na objem) telesá priemernej hmotnosti \(m\). Do tejto oblasti zvonku vletí omnoho masívnejšia hviezda Žerucha s hmotnosťou \(M \gg m\) a polomerom \(R\). Aké množstvo materiálu stihne Žerucha pohltiť pri prechode oblakom na trase dĺžky \(L\)? Zanedbajte gravitačný vplyv ostatných telies na trajektóriu hviezdy a jej zmenu gravitačného poľa alebo polomeru v dôsledku pohlcovania hmoty. Za okamih pohltenia považujte „náraz“ na jej povrch. Tiež zanedbajte akékoľvek okrajové efekty v dôsledku konečnosti oblaku.

Pomôcka: pri vzájomných gravitačných interakciách môžete uvažovať celkovú energiu \(E\) (systému hviezda-asteroid!) ako \(E > 0\)

Teraz uvažujte malý asteroid Pepek hmotnosti \(\mu\). Pepek neberie steroidy a je tak primalý na to, aby výrazne ovplyvnil trajektórie okolitých asteroidov. Do toho istého vesmírneho oblaku vstúpil s vektorom rýchlosti \(\vec{v}\). Odhadnite rádovo časovú škálu randomizácie rýchlosti, teda dobu za akú Pepek v dôsledku náhodných impulzov zo strany väčších asteroidov „stratí pamäť“ o pôvodnom smere svojho pohybu. Neočakáva sa počítanie žiadnych integrálov, dôležitejšie než bezrozmerný faktor (blízky 1 na logaritmickej škále) je určiť závislosť tejto doby na dôležitých fyzikálnych parametroch príkladu.

Pomôcka: V režime „slabej interakcie“, teda na veľmi málo vychýlenej trajektórii platí, že prakticky všetok impulz je odovzdaný v oblasti maximálneho priblíženia, teda v oblasti kde vzdialenosť telies je rádovo podobná impakt parametru \(b\). Impakt parameter je kolmá (teda minimálna) vzdialenosť masívneho telesa od predĺženia Pepkovej pôvodnej trajektórie.

Predpoklad z pomôcky k úlohe B si vieme pomerne jednoducho overiť: zrátajte aký impulz (teda zmenu vektoru hybnosti) udelí Pepkovi jedno gravitačné centrum, okolo ktorého prelieta na prakticky nevychýlenej trajektórii s impakt parametrom \(b\) a rýchlosťou v „mínus nekonečne“ \(v\). Znova, rátame impulz ktorý sám o sebe trajektóriu vychyľuje, ale je omnoho menší než pôvodná celková hybnosť, a preto zanedbávame zmenu tvaru trajektórie pre potreby výpočtu tohto impulzu. Integrál ktorý vám výjde smelo hodťe do Wolframu Alpha, alebo môžete použiť vhodnú substitúciu.