Počet bodov:
Popis:  9b
  1. Majme oblak asteroidov, kde sa nachádzajú v koncentrácii \(n\) (počet na objem) telesá priemernej hmotnosti \(m\). Do tejto oblasti zvonku vletí omnoho masívnejšia hviezda Žerucha s hmotnosťou \(M \gg m\) a polomerom \(R\). Aké množstvo materiálu stihne Žerucha pohltiť pri prechode oblakom na trase dĺžky \(L\)? Zanedbajte gravitačný vplyv ostatných telies na trajektóriu hviezdy a jej zmenu gravitačného poľa alebo polomeru v dôsledku pohlcovania hmoty. Za okamih pohltenia považujte „náraz“ na jej povrch. Tiež zanedbajte akékoľvek okrajové efekty v dôsledku konečnosti oblaku.

    Pomôcka: pri vzájomných gravitačných interakciách môžete uvažovať celkovú energiu \(E\) (systému hviezda-asteroid!) ako \(E > 0\)

  2. Teraz uvažujte malý asteroid Pepek hmotnosti \(\mu\). Pepek neberie steroidy a je tak primalý na to, aby výrazne ovplyvnil trajektórie okolitých asteroidov. Do toho istého vesmírneho oblaku vstúpil s vektorom rýchlosti \(\vec{v}\). Odhadnite rádovo časovú škálu randomizácie rýchlosti, teda dobu za akú Pepek v dôsledku náhodných impulzov zo strany väčších asteroidov „stratí pamäť“ o pôvodnom smere svojho pohybu. Neočakáva sa počítanie žiadnych integrálov, dôležitejšie než bezrozmerný faktor (blízky 1 na logaritmickej škále) je určiť závislosť tejto doby na dôležitých fyzikálnych parametroch príkladu.

    Pomôcka: V režime „slabej interakcie“, teda na veľmi málo vychýlenej trajektórii platí, že prakticky všetok impulz je odovzdaný v oblasti maximálneho priblíženia, teda v oblasti kde vzdialenosť telies je rádovo podobná impakt parametru \(b\). Impakt parameter je kolmá (teda minimálna) vzdialenosť masívneho telesa od predĺženia Pepkovej pôvodnej trajektórie.

  3. Predpoklad z pomôcky k úlohe B si vieme pomerne jednoducho overiť: zrátajte aký impulz (teda zmenu vektoru hybnosti) udelí Pepkovi jedno gravitačné centrum, okolo ktorého prelieta na prakticky nevychýlenej trajektórii s impakt parametrom \(b\) a rýchlosťou v „mínus nekonečne“ \(v\). Znova, rátame impulz ktorý sám o sebe trajektóriu vychyľuje, ale je omnoho menší než pôvodná celková hybnosť, a preto zanedbávame zmenu tvaru trajektórie pre potreby výpočtu tohto impulzu. Integrál ktorý vám výjde smelo hodťe do Wolframu Alpha, alebo môžete použiť vhodnú substitúciu.

Odovzdávanie

Na odovzdávanie sa musíš prihlásiť

Otázky a diskusia

Po skončení kola budete mať príležitosť na diskutovanie o riešeniach v diskusii pod vzorovým riešením.