2. Sférická častica v špagetách

Hlavným hráčom medzi silami na poli nanotechnológií založených na nepolárnych molekulách (napríklad polyméroch) je tzv. disperzná sila. Potenciálna energia tejto príťažlivej sily pre dva atómy závisí od šiestej mocniny ich vzdialenosti.

Keď ľudia zistili, ako vyzerá energia pre dva atómy – bodové častice, ako správni fyzici odvodili energiu pre dve sférické telesá vo vákuu: \[ E(z,R_{1},R_{2}) = -\frac{A}{6}\left(\frac{2R_{1}R_{2}}{z^2 - (R_{1} + R_{2})^2} + \frac{2R_{1}R_{2}}{z^2 - (R_{1} - R_{2})^2} + \ln\left[\frac{z^2-(R_{1}+ R_{2})^2}{z^2-(R_{1}- R_{2})^2}\right]\right)\text{,} \]

kde \(z\) je vzdialenosť ich stredov, \(R_1\) a \(R_2\) ich polomery. \(A\) je konštanta charakteristická pre dvojicu materiálov telies, platí \[ A = \rho_1 \rho_2 k\text{,} \]

kde \(\rho_i\) je počet atómov na jednotku objemu materiálu a \(k\) konštanta závisiaca od typu atómov.

Úloha 1

Podrobným pohľadom na vzorec vyššie zistíme, že ak by sme nemenili zloženie, no zdvojnásobili všetky rozmery a vzdialenosti týchto dvoch telies, výsledná energia sa nezmení. Je táto vlastnosť špecifická pre dve sféry alebo platí pre ľubovoľné tvary telies? Zdôvodnite.

Úloha 2

Odvoďte potenciálnu energiu guľatej nanočastice s polomerom \(R\) vo vzdialenosti \(d\) od nekonečnej platne s hrúbkou \(T\), ak spolu interagujú disperzne s konštantou \(A\).

Úloha 3

Odvoďte potenciálnu energiu guľatej nanočastice s polomerom \(R\) plne ponorenej vo vrstve (platni) polyméru s hrúbkou \(T\) v závislosti od pozície častice vo vrstve.