3. Fotonický kryštál

Najjednoduchší fotonický kryštál si môžete predstaviť ako obrovské množstvo dotýkajúcich sa tenkých platničiek ABABABA… (ich hrúbka je porovnateľná s vlnovou dĺžkou svetla; platničky A, resp. B sú navzájom všetky rovnaké).

Ukazuje sa, že takéto médium má zvláštne schopnosti pre priepustnosť svetla v závislosti od jeho vlnovej dĺžky: vznikajú pásy dovolených a zakázaných vlnových dĺžok, pre ktoré je prostredie úplne priehľadné, resp. úplne nepriehľadné. Najkrajšie na tom všetkom je, že intervaly (ne)priehľadnosti závisia len od hrúbok a indexov lomov platničiek A, B – sú teda dobre nastaviteľné podľa potrieb. Potenciálne aplikácie sú obrovské. Pozri aj http://ab-initio.mit.edu/photons/. My si dáme prízemnejšie ciele:

• Naštudujte si závislosť koeficientu odrazivosti a priepustnosti svetla v závislosti od indexu lomu dvoch prostredí. Stačí sa obmedziť na kolmý dopad svetla.¹
• Uvažujte jednu platničku B s indexom lomu \(n=2\) a s hrúbkou \(d/2\), ktorá je umiestnená vo vzduchu. Uvážiac všetkých nekonečne veľa odrazov nájdite analyticky presný výraz pre priepustnosť doštičky v závislosti od vlnovej dĺžky svetla \(lambda\).
• Uvažujte fotonický kryštál ABABABA… s aspoň 100 platničkami B ako vyššie. Úlohu platničiek A bude hrať vzduch s indexom lomu \(n=1\) a hrúbkou \(d\). Pokúste sa numericky získať grafickú závlosť pre priepustnosť tohoto fotonického kryštálu v závislosti od vlnovej dĺžky použitého svetla. Na základe výsledkov posúďte na prítomnosť zakázaných a povolených pásov vlnových dĺžok.