V tejto úlohe sa oboznámime s najjednoduchšou mikroskopickou teóriou popisúcou fázový prechod - metódou stredného poľa. Budeme ju aplikovať na zjednodušený, tzv. klasický Isingov model magnetu. Je na mieste vopred upozorniť, že výsledky tejto teórie sú veľmi odlišné od experimentálnych meraní pre naozajstné magnety. Existujú však iné fázové prechody prvého druhu, pre ktoré teória funguje s úžasnou presnosťou (napr. prechod kovov do supravodivého stavu pri nízkych teplotách - to síce nie je obsahom tejto úlohy, ale v samom závere sa k tejto zaujímavosti vrátime).

Než vysvetlím, čo metóda stredného poľa znemaná, predstavím už spomínaný klasický Isingov model magnetu. Predstavte si kubický kryštál, v ktorom je rozmiestnených $n \times n \times n ≡ N$ elementárnych magnetov, tzv. spinov, ktoré sa môžu nachádzať v dvoch stavoch: Hore (↑ alebo +1) a dole (↓ alebo -1). Dovedna teda existuje $2N$ rôznych mikroskopických konfigurácií. Energia konfigurácie je daná vzťahom $$ E_\text{konfig.} = - \sum_{i} B {s_i} - J \sum_{\langle i,j \rangle} s_i s_j \, , $$ kde $s_i = \pm 1$ je orientácia spinu v mriežkovom bode $i$, $B$ je externé magnetické pole, $J>0$ popisuje silu feromagnetickej interakcie spinov a $\sum_{\langle i,j \rangle}$ značí sčitovanie cez dvojice najbližších susedov. V uvažovanom trojrozmernom kryštáli má každý spin šesť najbližších susedov.

Zo štatistickej fyziky vieme, že každá z množstva konfigurácii sa v systéme realizuje s pravdepodobnosťou úmernou $e^{-\frac{E_\text{konfig.}}{k_B T}}$, tzv. Boltzmannov zákon. Očakávaná hodnota fyzikálnej veličíny $A$ sa potom počíta ako stredná hodnota $$ \langle A \rangle = \frac{ \sum_\text{konfig.} A_\text{konfig.} e^{-\frac{E_\text{konfig.}}{k_B T}} }{ \sum_\text{konfig.} e^{-\frac{E_\text{konfig.}}{k_B T}} } \, , $$ kde $A_\text{konfig.}$ je hodnota veličiny $A$, ak sa realizuje konkrétna konfigurácia a obe sumy bežia cez všetkých $2N$ možných konfigurácií systému. Tu však narážame na dva problémy: Prvý, zmagnetizovaný materiál bez vonkajšieho poľa na rozumných časových škálach, povedzme na škálach porovnateľných s vekom vesmíru, nemení svoju os magnetizácie. Fluktuácia, ktorá by magnet prepólovala totiž stojí veľa energie a je extrémne málo pravdepodobná. Magnet sa teda nedostane do všetkých možných konfigurácii a sumy treba nejako orezať. Druhý problém je celkom očakávateľný - sumy v rovniciach nevieme vypočítať.

Metóda stredného poľa je drastickým zjednodušením. Predpokladá sa, že každý spin interaguje s priemernou magnetizáciou celého kryštálu. Keďže $6 \lll N^3$, nemožno očakávať zázraky - najmä pokiaľ sa v magnete realizujú korelácie na vzdialenostiach väčších ako vzdialenosť druhých najbližších susedov. Skutočne, sú to práve zanedbané fluktuácie, kvôli ktorým nedáva metóda stredného poľa dobré predpovede. Metóda však aspoň kvalitatívne vysvetľuje existenciu fázového prechodu a hysterézne správanie magnetov. To si ukážeme.

Postupujte nasledovne: Nech $\langle s \rangle = \frac{1}{N} \sum_i s_i$ značí priemernú orientáciu spinu v kryštáli. Tú pre dané parametre $T$, $B$ vopred nepoznáme, čo nám neprekáža ju nejako označiť. Zrejme $\langle s \rangle \neq 0$ bude znamenať magnetický stav kryštálu. Obmedzte sa na jediný spin ktorého 6 susedov nahraďte stredným poľom $\langle s \rangle$. Boltzmannovským prístupom určite, s akou pravdepodobnosťou sa tento spin nachádza v stavoch $\pm 1$ a aká je jeho stredná magnetizácia. Požadovaním “konzistentnosti”, t.j. že stredná hodnota skúmaného spinu je rovnaká ako priemerná magnetizácia vstupujúca do výpočtu, ukážte že môžu nastať nasledovné prípady:

• Ak $B = 0$ a $T$ je väčšia ako istá medzná (tzv. kritická alebo Curieho) teplota $T_c$, tak existuje jediné riešenie $\langle s \rangle = 0$, nemagnetický stav.
• Ak $B = 0$ a $T<T_c$, existujú riešenia $\langle s \rangle = 0$ a $\pm \langle s \rangle \neq 0$. Ukážte, že magnetický stav má nižšiu energiu ako nemagnetický a numericky určte závislosť nenulového $\langle s \rangle$ od teploty.
• Ak $B \neq 0$, môže existovať jedno až tri riešenia. Ukážte, že vo všeobecnosti sú všetky tri nenulové a dajte im fyzikálnu interpretáciu. Ďalej ukážte, že pre $T<T_c$ a existuje kritická veľkosť magnetického poľa $B_c$ ktorá spôsobí premagnetizovanie systému a že prekročenie tohto magnetického poľa povedie na hysterézne správanie.

Fázové prechody sú charakterizované sadou tzv. kritických exponentov. Hoci vo fyzike existuje veľké množstvo fázových prechodov, na základe sady hodnôt kritických parametrov ich možno všetky klasifikovať do prekvapivo malého množstva tried, tzv. univerzalít. Napríklad kritické exponenty nášho modelu magnetu v priblížení stredného poľa sú identické s kritickými exponentami supravodiča. Ďalším príkladom je kondenzácia plynu, ktorá patrí do tej istej triedy ako presné riešenie klasického Isingovho modelu.

Toto sú definície niektorých kritických exponentov:

• Ak teplota $T$ je blízka $T_c$, tepelná kapacita sa škáluje ako $C \sim |T-T_c|^\alpha$.
• Ak teplota $T$ je o málo menšia ako $T_c$, tak magnetizácia sa škáluje ako $\langle s \rangle \sim (T_c -T)^\beta $.
• Ak $T = T_c$, magnetizácia závisí od externého magnetického poľa ako $\langle s \rangle \sim B^{\frac{1}{\delta}}$.

Určte exponenty $\alpha$, $\beta$ a $\delta$ v priblížení stredného poľa.

Poznámka: Pri popise kvapalín a supravodičov sa magnetizácia nahradzuje inou veličinou, tzv. parametrom usporiadania, ktorá je v týchto fázach nenulová a vo vysokoteplotnej fáze je nulová. V definíciách kritických parametrov pre tieto fázové prechody treba spraviť tú istú zámenu magnetizácie za parameter usporiadania.