Zadanie pre géniov:

Vyriešte problém dvojitého matematického kyvadla pomocou princípu minimálneho účinku, ktorý použijete numericky.

Zadanie pre normálnych ľudí:

Princíp minimálneho účinku hovorí, že telesá sa snažia pohybovať tak, aby priemerná hodnota rozdielu ich kinetickej a potenciálnej energie za daný čas bola čo najnižsia. Tento čudesný zákon dokáže nahradiť pohybové rovnice, avšak na praktické výpočty sa používa zriedka. Týmto príkadom sme sa rozhodli tento neduh napraviť. Viac o princípe nájdete TU. Dvojité matematické kyvadlo si možno predstaviť ako dve matematické kyvadlá pod sebou, viď ľavý z trojice obrázkov.

Presné zadanie vašej úlohy:

Na prostrednom obrázku je zachytená poloha kyvadla v čase $0 \, \text{s}$, na pravom v čase $10 \, \text{s}$. Dĺžka oboch tyčí je $20 \, \text{cm}$, hmotnosť oboch závaží $100 \, \text{g}$, gravitačné zrýchlenie $10 \, \text{m.s}^{-2}$. Trenie neuvažujeme. Aké musia byť rýchlosti závaží v čase $0 \, \text{s}$ na obrázku vľavo, aby bol takýto vývoj možný?

• Nájdite čo najviac možných dvojíc $v_1$, $v_2$, ktoré sú riešením úlohy.
• Najexotickejší pohyb, ktorý nájdete, vizualizujte a zaveste na YouTube, link vložte do riešenia.

Návod:

1. Postupujte numericky, otvorte si Python / Javu / C / Ruby / JavaScript / Matlab / Excel a smelo do toho.
2. Ak ste si z predchadzajucej ponuky vybrali Excel, vráťte sa na krok 1.
3. Spustite Python.
4. Vymyslite, ako čo najjrozumnejšie reprezentovať vývoj kyvadla (teda, nie len okamžitý stav, ale celý vývoj od času $0 \, \text{s}$ po čas $10 \, \text{s}$).
5. Zrátajte pre tento vývoj účinok.
6. Skúste jemne poštelovať s vývojom a nájsť nový vývoj s menším účinkom.
7. Automatizovane opakujte niekoľko posledných krokov, až kým nedostanete vývoj s lokálne minimálnym účinkom, ktorý už neviete vylepšiť.

Pár ďalších rád:

1. Nakóďte si jednoduchú vizualizáciu výsledného optimálneho vývoja, silne to odporúčam. Jednak uvidíte, či vám to ráta dobre a dvak, robí to úžasné veci.
2. Neprepadajte panike!.
3. Spustite Python.
4. Zabudnite na prežitky ako sú pohybové rovnice. Pri princípe minimálneho účinku vás nesmie trápiť, že vývoj, s ktorým pracujete, im odporuje. Je dokázané, že pokiaľ nájdete vývoj s minimálnym účinkom, tento bude ok aj čo do klasických pohybových rovníc.
5. Ak máte problémy so zachytávaním videa, pokojne nahrajte fotoaparátom váš monitor, postačí to.
6. Vaše video môže byť oproti realite spomalené, aspoň bude lepšie sledovateľné.
7. Najexotickejší pohyb vyhráva od Andreja kompót.