Vo fyzike existuju dve rôzne interpretácie pravdepodobnosti, tzv. frekvencionistická, a bayesovká. Tá prvá chápe pravdepodobnosť nejakého javu ako objektívnu veličinu, ktorú možno určiť dostatočne veľkým počtom experimentov. Druhá chápe pravdepodobnosť ako subjektívnu veličinu zohľadňujúcu naše množstvo vedomostí o danom fyzikálnom jave. Zatiaľčo tá prvá je známa zo stredoškolskej matematiky, vo fyzike sa čoraz častejšie využívajú deduktívne metódy založené na tej druhej. Táto úloha vás s ňou trochu oboznámi.

Centrálnymi pojmami bayesiánskeho prístupu sú apriórna a aposteriórna pravdepodobnosť. (Z latinského a priori (na základe predošlého) a a posteriori (na základe neskoršieho).) Apriórna pravdepodobnosť vyjadruje naše predpoklady pred vykonaním experimentu a aposteriórna vyvinuté predstavy vyplývajúce z apriórnej pravdepodobnosti a výsledkov experimentu. Ústredná je rovnica pre podmienené pravdepodobnosti, ktorú odôvodnil anglický duchovný Thomas Bayes. Znie $$ P(A_j|B) = \frac{P(B|A_j) P(A_j)}{P(B)}. $$ V tejto rovnici sú $P(A_j)$ a $P(B)$ pravdepodobnosti dvoch náhodných javov $A_j$ a $B$, $P(B|A_j)$ je podmienená pravdepodobnosť javu $B$ ak nastal jav $A_j$. Veličina $P(A_j|B)$ určuje podmienenú pravdepodobnosť javu $A_j$, ak nastal jav $B$.

Vo fyzikálnom žargóne sa javy $A_j$ a $B$ môžu nazvať teória a experiment. V tom prípade $P(A_j)$ vyjadruje apriórnu pravdepodobnosť, že teória $A_j$ je pravdivá, $P(B|A_j)$ je pravdepodobnosť že teória $A_j$ dá experimetálny výsledok $B$, $P(B)=\sum_{j} P(B|A_j) P(A_j)$ je pravdepodobnosť, s akou podľa našich vedomostí vôbec nastane jav $B$. Potom $P(A_j|B)$ vyjadruje, s akou pravdepodobnosťou je teória $A_j$ pravdivá po zohľadnení experimentu $B$.

Všimnite si, že táto interpretácia je kompatibilná s oboma extrémami: Ak sme si istí, že nejaká teória $A_j$ určite nie je pravdivá a vopred ju vylúčime, $P(A_j)=0$, tak aj $P(A_j|B)=0$, t.j. žiadne experimentálne dáta nás o teórii $A_j$ neprinútia uvažovať. Naopak, ak sme si od začiaku istí, že teória $A_j$ je určite pravdivá (čiže vopred vylúčime všetky ostatné teórie), tak podľa rovnice nás žiadne experimentálne výsledky neprinútia pochybovať. Presvedčte sa!

Táto úloha pozostáva z troch praktických problémov zo života, fyziky je tu naozaj málo. Prvé dve úlohy sú zahrievacie, tá posledná je naozajstná.

Problém [A]

V istom meste sa stala nehoda – v nočných hodinách bol chodca zrazený taxíkom. Podľa očitého svedka išlo o oranžový taxík. Polícia vie, že v meste je 900 taxíkov žltých, zvyšných 100 taxíkov je oranžových. Testy v svetelných podmienkach zodpovedajúcim tým v čase nehody ukázali, že očitý svedok identifikuje žltý taxík s pravdepodobnosťou $18\%$ ako oranžový a s $5\%$ oranžový ako žltý. Ako zmenilo domnienky o páchateľovi toto očité svedectvo? Je dôvod predpokladať, že nehodu naozaj spôsobil oranžový taxík?

Problém [B]

Istou chorobou trpí 1% populácie. Bežne používaný test s pravdepodobnosťou 95% chorobu správne diagnostikuje resp. vylúči, vo zvyšných 5% prípadov diagnostikuje chorobu klinicky zdravým ľuďom resp. neodhalí ju u chorých. Ak vám takýto test oznámi, že ste chorí, s akou pravdepodobnosťou ste naozaj chorý? Ako sa vaša vedomosť zmení, ak aj druhý nezávislý test potvrdí vašu chorobu? Predpokladajte, že druhý test má rovnakú spoľahlivosť a že jeho výsledky sú nekorelované s výsledkami prvého testu.

Problém [C]

Eva si v obchode kúpila 10 krabičiek so zápalkami. Po rozbalení zistila, že tri z nich majú na obrázku Glärnisch, dve Wetterhorn, dve Matterhorn, dve Piz Beverin a jedna Jungfrau. Aký počet rôznych existujúcich vzorov možno očakávať na základe Evou náhodne vybranej desatice? Predpokladáme, že výrobca vyrába všetky vzory v rovnakom počte. Pred experimentom s rovnakou pravdepodobnosťou prípušťame všetky možné počty rôznych vzorov.