Táto úloha sú v skutočnosti úlohy dve!

Časť [A]

Kaja vzala gumu počiatočnej dĺžky $L$. Jeden jej koniec upevnila k stene a druhým koncom začala gumu naťahovať tak, že jej dĺžka v čase $t$ je $L+ut$. Súčasne s naťahovaním sa po gume začal od steny pohybovať mravec konštantnou rýchlosťou $v$. Zistite, aká musí byť rýchlosť $v$, aby sa mravcovi podarilo prísť na opačný koniec gumy a ako dlho mu to bude trvať! Predpokladajte, že guma sa naťahuje rovnomerne a možno ju natiahnuť na ľubovoľnú dĺžku.

Časť [B]

Predstavte si svet tvaru dvojrozmernej roviny (volajme ho “horúca platnička”) na ktorom žiju dvojrozmerné bytosti – mravčeky. Mravčeky ako aj všetky ich nástroje sú vyrobené z materiálu s rovnakou teplotnou rozťažnosťou $\alpha$, všetky objekty sa tu naťahujú podľa $L=\alpha T L_0$. Keď sa mravček presunie na teplejšiu oblasť platničky, on aj jeho nástroje sa zväčšia rovnako veľmi, takže rozťahovanie vôbec nepostrehne.

Čudnosť svojho sveta však mravčeky môžu objavovať inak – geometricky! Keďže úsečky definované ako najkratšie spojnice dvoch bodov sú akosi krivé (oplatí sa ísť cez teplejšie oblasti, kde sú pravítka dlhšie), nemalo by byť prekvapivé, že súčet vrcholových uhlov v trojuholníku tu nemusí byť 180° alebo že pokus o nakreslenie štvorca, t.j. série čiar rovnakej dĺžky postupne na seba kolmých, tu môže zlyhať.

Vaša úloha je nasledovná: Ako má vyzerať teplotná mapa platničky, aby geometria na nej bola identická s geometriou na guli? (Myslí sa to okrem jej južného pólu, ktorý sa na našu platničku “nevzmestí”.)