Laserový lúč má polarizáciu (elektrického poľa) opísanú 2-zložkovým vektorom
v báze $(\leftrightarrow,\, \updownarrow)$:

$$ E = \begin{pmatrix} E_{\leftrightarrow} \\ E_{\updownarrow} \end{pmatrix}. $$

Vstupnú lineárnu polarizáciu viete pripraviť pod uhlom $\theta$ vzhľadom na $\leftrightarrow$ ako

$$ E_{\text{in}}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}. $$

Zapečatená optická „čierna skrinka“ pôsobí na vektor polarizácie $E_{\text{in}}$.
Je lineárna a bezstratová (nemení celkovú intenzitu), ale môže spôsobiť fázové posuny, takže zložky môžu byť komplexné.

Za skrinkou meriate intenzity pomocou ideálnych polarizátorov, ktoré prepúšťajú iba $\leftrightarrow$ alebo $\updownarrow$:

$$ I_{\leftrightarrow} = |E_{\text{out},\leftrightarrow}|^2, \qquad I_{\updownarrow} = |E_{\text{out},\updownarrow}|^2. $$

Experimentálne výsledky

• Vstup $\theta = 0^\circ$: $I_{\leftrightarrow} = \dfrac{1}{4}$, $I_{\updownarrow} = \dfrac{3}{4}$

• Vstup $\theta = 90^\circ$: $I_{\leftrightarrow} = \dfrac{3}{4}$, $I_{\updownarrow} = \dfrac{1}{4}$

• Vstup $\theta = 45^\circ$: $I_{\leftrightarrow} = \dfrac{1}{2}$, $I_{\updownarrow} = \dfrac{1}{2}$

• Vstup $\theta = -45^\circ$: $I_{\leftrightarrow} = \dfrac{1}{2}$, $I_{\updownarrow} = \dfrac{1}{2}$

Zadanie

1. Zdôvodnite, prečo linearita znamená, že existuje $2\times 2$ matica $M$ taká, že
   $$ E_{\text{out}} = M \cdot E_{\text{in}}. $$

2. Ukážte, čo z podmienky bezstratovosti plynie pre maticu $M$.

3. Pomocou experimentálnych výsledkov nájdite jednu explicitnú maticu $M$, ktorá je s nimi konzistentná.

4. Spravte predpoveď pre $I_{\leftrightarrow}$ a $I_{\updownarrow}$ pre vstup $\theta = 30^\circ$.

5. Vysvetlite, prečo žiadna čisto reálna matica nerieši podúlohu 3.