Podúloha 1 (2 body)

Optickej skrinke zodpovedá nejaká (vo všeobecnosti komplexná) funkcia $F:\mathbb C^2\rightarrow\mathbb C^2$ taká, že $\mathbf E_{\text{out}} = F(\mathbf E_{\text{in}})$. Linearita $F$ znamená, že pre ľubovoľné vektory $\mathbf a, \mathbf b \in\mathbb C^2$ a skalár $\lambda \in \mathbb C$ platí $$ F(\mathbf a + \lambda \mathbf b) = F(\mathbf a) + \lambda F( \mathbf b)~. $$ Pre $\mathbf v = (x,y)^T = x(1,0)^T + y(0,1)^T$ potom platí $$ F(\mathbf v) = F \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x F \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y F \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = M \mathbf v~, $$ kde $a,b,c,d \in \mathbb C$.

Podúloha 2 (2 body)

Bezstratovosť znamená, že celková intenzita (a teda aj energia) sa zachováva $$ |\mathbf E_{\text{out}}|^2 = \mathbf E_{\text{out}}^{\dagger} \mathbf E_{\text{out}} = (M \mathbf E_{\text{in}})^{\dagger}(M\mathbf E_{\text{in}}) = \mathbf E_{\text{in}}^\dagger M^\dagger M \mathbf E_{\text{in}} \overset{!}{=} \mathbf E_{\text{in}}^\dagger \mathbf E_{\text{in}} \, , $$ kde $M^\dagger = (M^T)^*$ označuje transponovanú a komplexne združenú maticu. Odtiaľ vyplýva $$ M^\dagger M = I $$ alebo v komponentoch $$ \tag{1} |a|^2 + |c|^2=1~,~~~ |b|^2+|d|^2=1~,~~~ab^*+cd^*=0~. $$ Maticu, ktorá spĺňa tieto podmienky, nazývame unitárna. Unitárne matice hrajú dôležitú úlohu v kvantovej mechanike.

Podúloha 3 (3 body)

Nájdeme všetky. Na základe experimentálnych dát treba určiť komplexné čísla $a,b,c,d$. Pre výstupný vektor $\mathbf E_{\text{out}}$ platí $$ \mathbf E_{\text{out}} = M \mathbf E_{\text{in}} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cos \theta + b\sin\theta \\ c\cos\theta + d\sin\theta \end{pmatrix} $$ odkiaľ dostávame výstupné intenzity $$ I_\leftrightarrow = |a\cos \theta + b\sin\theta|^2~,~~~I_\updownarrow =|c\cos\theta + d\sin\theta|^2~. $$ V prvom experimente máme $\theta=0$, takže dostávame podmienky $$ \frac14 = |a|^2~,~~~ \frac34 =|c|^2 ~~~ \implies ~~~ |a|=\frac12~,~~~ |c|=\frac{\sqrt3}{2} ~~~ \implies ~~~ a = \frac12e^{i\alpha}~,~~~ c=\frac{\sqrt3}{2}e^{i\gamma}~. $$ Z druhého experimentu ($\theta=\frac\pi2$) máme $$ |b|=\frac{\sqrt3}{2}~,~~~|d|=\frac12 ~~~ \implies ~~~ b = \frac{\sqrt3}{2}e^{i\beta}~,~~~ d=\frac12e^{i\delta}~. $$ Z tretieho a štvrtého experimentu ($\theta=\pm\frac\pi4$) dostávame z $I_\leftrightarrow = \frac12$ $$ \tag{2} 1=|a\pm b|^2=|a|^2+|b|^2 \pm 2 \Re(ab^*) = 1 \pm 2 \Re(ab^*) \implies \Re(ab^*) = 0 $$ a podobne pre $I_\updownarrow = \frac12$ $$ \tag{3} 1=|c\pm d|^2=|c|^2+|d|^2 \pm 2 \Re(cd^*) = 1 \pm 2 \Re(cd^*) \implies \Re(cd^*)=0 $$ takže $ab^*$ a $cd^*$ sú čisto imaginárne čísla a – ako hovorí tretia podmienka v (1) – s opačným znamienkom. Z toho vyplýva, že fázy $\beta,\delta$ sú určené fázami $\alpha,\gamma$: $$ b = si\frac{\sqrt3}2 e^{i\alpha}~,~~~d=-si\frac12e^{i\gamma}~, $$ kde $s=\pm1$. A teda najvšeobecnejšia unitárna matica konzistentná s dátami má tvar $$ \tag{4} M = \begin{pmatrix} \frac12 e^{i\alpha} & si\frac{\sqrt3}2 e^{i\alpha} \\ \frac{\sqrt3}2 e^{i\gamma} & -si\frac12e^{i\gamma} \end{pmatrix}~. $$

Podúloha 4 (1 bod)

Pre $\theta = \frac\pi6$ máme $$ \begin{aligned} I_\leftrightarrow &= \left|a \frac{\sqrt{3}}{2}+b\frac12\right|^2 = \frac{3}{16}|1\pm i|^2 =\frac38~, \\ I_\updownarrow &= 1-I_\leftrightarrow = \frac58~. \end{aligned} $$

Podúloha 5 (1 bod)

Z (4) priamo vidíme, že nedokážeme zvoliť $\alpha,\gamma$ tak, aby $M$ bola reálna matica. Ešte inak, ak by komponenty $M$ boli reálne čísla, potom z (2) vidíme, že $ab=0$, čo je v spore s $|a|\cdot|b|=\frac{\sqrt{3}}{4}$.