Podúloha 1 (2 body)

Optickej skrinke zodpovedá nejaká (vo všeobecnosti komplexná) funkcia $F:\\mathbb C^2\rightarrow\\mathbb C^2$ taká, že $\\mathbf E_{\text{out}} = F(\\mathbf E_{\text{in}})$. Linearita $F$ znamená, že pre ľubovoľné vektory $\\mathbf a, \\mathbf b \in\\mathbb C^2$ a skalár $\lambda \in \\mathbb C$ platí $$ F(\\mathbf a + \lambda \\mathbf b) = F(\\mathbf a) + \lambda F( \\mathbf b)~. $$ Pre $\\mathbf v = (x,y)^T = x(1,0)^T + y(0,1)^T$ potom platí $$ F(\\mathbf v) = F \begin\{pmatrix\} x \\\\ y \end\{pmatrix\} = x F \begin\{pmatrix\} 1 \\\\ 0 \end\{pmatrix\} + y F \begin\{pmatrix\} 0 \\\\ 1 \end\{pmatrix\} = x \begin\{pmatrix\} a \\\\ c \end\{pmatrix\} + y \begin\{pmatrix\} b \\\\ d \end\{pmatrix\} = \begin\{pmatrix\} a & b \\\\ c & d \end\{pmatrix\} \begin\{pmatrix\} x \\\\ y \end\{pmatrix\} = M \\mathbf v~, $$ kde $a,b,c,d \in \\mathbb C$.

Podúloha 2 (2 body)

Bezstratovosť znamená, že celková intenzita (a teda aj energia) sa zachováva $$ |\\mathbf E\_\{\text\{out\}\}|^2 = \\mathbf E\_\{\text\{out\}\}^\{\dagger\} \\mathbf E\_\{\text\{out\}\} = (M \\mathbf E\_\{\text\{in\}\})^\{\dagger\}(M\\mathbf E\_\{\text\{in\}\}) = \\mathbf E\_\{\text\{in\}\}^\dagger M^\dagger M \\mathbf E\_\{\text\{in\}\} \overset\{!\}\{=\} \\mathbf E\_\{\text\{in\}\}^\dagger \\mathbf E\_\{\text\{in\}\} \, , $$ kde $M^\dagger = (M^T)^*$ označuje transponovanú a komplexne združenú maticu. Odtiaľ vyplýva $$ M^\dagger M = I $$ alebo v komponentoch $$ \tag\{1\} |a|^2 + |c|^2=1~,~~~ |b|^2+|d|^2=1~,~~~ab^\*+cd^\*=0~. $$ Maticu, ktorá spĺňa tieto podmienky, nazývame unitárna. Unitárne matice hrajú dôležitú úlohu v kvantovej mechanike.

Podúloha 3 (3 body)

Nájdeme všetky. Na základe experimentálnych dát treba určiť komplexné čísla $a,b,c,d$. Pre výstupný vektor $\\mathbf E_{\text{out}}$ platí $$ \\mathbf E\_\{\text\{out\}\} = M \\mathbf E\_\{\text\{in\}\} = \begin\{pmatrix\} a & b \\\\ c & d \end\{pmatrix\} \begin\{pmatrix\} \cos \theta \\\\ \sin \theta \end\{pmatrix\} = \begin\{pmatrix\} a\cos \theta + b\sin\theta \\\\ c\cos\theta + d\sin\theta \end\{pmatrix\} $$ odkiaľ dostávame výstupné intenzity $$ I\_\leftrightarrow = |a\cos \theta + b\sin\theta|^2~,~~~I\_\updownarrow =|c\cos\theta + d\sin\theta|^2~. $$ V prvom experimente máme $\theta=0$, takže dostávame podmienky $$ \frac14 = |a|^2~,~~~ \frac34 =|c|^2 ~~~ \implies ~~~ |a|=\frac12~,~~~ |c|=\frac\{\sqrt3\}\{2\} ~~~ \implies ~~~ a = \frac12e^\{i\alpha\}~,~~~ c=\frac\{\sqrt3\}\{2\}e^\{i\gamma\}~. $$ Z druhého experimentu ($\theta=\frac\pi2$) máme $$ |b|=\frac\{\sqrt3\}\{2\}~,~~~|d|=\frac12 ~~~ \implies ~~~ b = \frac\{\sqrt3\}\{2\}e^\{i\beta\}~,~~~ d=\frac12e^\{i\delta\}~. $$ Z tretieho a štvrtého experimentu ($\theta=\pm\frac\pi4$) dostávame z $I_\leftrightarrow = \frac12$ $$ \tag\{2\} 1=|a\pm b|^2=|a|^2+|b|^2 \pm 2 \Re(ab^\*) = 1 \pm 2 \Re(ab^\*) \implies \Re(ab^\*) = 0 $$ a podobne pre $I_\updownarrow = \frac12$ $$ \tag\{3\} 1=|c\pm d|^2=|c|^2+|d|^2 \pm 2 \Re(cd^\*) = 1 \pm 2 \Re(cd^\*) \implies \Re(cd^\*)=0 $$ takže $ab^\*$ a $cd^\*$ sú čisto imaginárne čísla a – ako hovorí tretia podmienka v (1) – s opačným znamienkom. Z toho vyplýva, že fázy $\beta,\delta$ sú určené fázami $\alpha,\gamma$: $$ b = si\frac\{\sqrt3\}2 e^\{i\alpha\}~,~~~d=-si\frac12e^\{i\gamma\}~, $$ kde $s=\pm1$. A teda najvšeobecnejšia unitárna matica konzistentná s dátami má tvar $$ \tag\{4\} M = \begin\{pmatrix\} \frac12 e^\{i\alpha\} & si\frac\{\sqrt3\}2 e^\{i\alpha\} \\\\ \frac\{\sqrt3\}2 e^\{i\gamma\} & -si\frac12e^\{i\gamma\} \end\{pmatrix\}~. $$

Podúloha 4 (1 bod)

Pre $\theta = \frac\pi6$ máme $$ \begin\{aligned\} I\_\leftrightarrow &= \left|a \frac\{\sqrt\{3\}\}\{2\}+b\frac12\right|^2 = \frac\{3\}\{16\}|1\pm i|^2 =\frac38~, \\\\ I\_\updownarrow &= 1-I\_\leftrightarrow = \frac58~. \end\{aligned\} $$

Podúloha 5 (1 bod)

Z (4) priamo vidíme, že nedokážeme zvoliť $\alpha,\gamma$ tak, aby $M$ bola reálna matica. Ešte inak, ak by komponenty $M$ boli reálne čísla, potom z (2) vidíme, že $ab=0$, čo je v spore s $|a|\cdot|b|=\frac{\sqrt{3}}{4}$.