Rýchlokurz kvantovej fyziky

Stav v kvantovej fyzike

V kvantovej fyzike je stav elektrónu úplne popísaný vlnovou funkciou $\Psi(\vec r)$, čo je komplexná funkcia závislá na polohe elektrónu v priestore $\vec r$.

V atómoch a molekulách sa môžeme obmedziť a povoliť elektrónu sa nachádzať iba na konkrétnych atómoch. Ak je poloha atómu $\vec r_i$, tak je stav elektrónu v molekule popísaný vlnovou funkciou

$$ \Psi = \sum_{i = 1}^{N} c_i \psi_{\vec r_i} \, , $$

kde $N$ je počet atómov a $c_i$ sú koeficienty. Tieto koeficienty sa dajú napísať ako $N$-rozmerný vektor $\Psi = (c_1, c_2, \dots , c_N)$.

Druhá mocnina absolútnej hodnoty koeficientu $\left|c_i\right|^2 = p_i$ má fyzikálny význam pravdepodobnosti výskytu elektrónu v atóme s polohou $\vec r_i$. Preto, ak spočítame pravdepodobnosti cez všetky atómy, tak dostaneme celkovú pravdepodobnosť výskytu elektrónu niekde vo svete, čo je práve 1.

$$ \sum_{i}^{N} \left|c_i\right|^2 = 1 \, . $$

Systém v kvantovej fyzike

V kvantovej fyzike je fyzikálny systém úplne popísaný maticou energie, ktorá sa volá Hamiltonián $H$. Ak má systém $N$ možných nezávislých stavov ($N$ možných atómov, kde sa elektrón môže nachádzať), tak je Hamiltonián matica s rozmermi $N \times N$.

Každý prvok matice $H_{ij}$ určuje interakčnú energiu medzi stavom atómu s polohou $\vec r_i$ a stavom atómu s polohou $\vec r_j$. Jediné stabilné stavy, v ktorých sa elektrón vo fyzikálnom systéme môže nachádzať, sú vlastné stavy Hamiltoniánu. Sú to riešenia maticovej rovnice

$$ H \Psi_j = E_j \Psi_j \, , $$

kde $\Psi_j = (c_{j,1}, c_{j,2}, \dots , c_{j,N})$ sú vlastné vektory (vlastné stavy), ktorých hodnota energie $E_j$ je vlastná hodnota.

Vlastné stavy majú zopár vlastností:

• Matica s rozmermi $N \times N$ má $N$ vlastných stavov (rôzne stavy môžu mať aj rovnakú vlastnú hodnotu).

• Vlastné stavy sú na seba kolmé vo význame sumy cez všetky atómy

$$ \sum_{m}^{N} c^\ast_{i,m} c_{j,m} = \begin{cases} 1 & \mathrm{pre} \, i = j \\ 0 & \mathrm{pre} \, i \neq j \end{cases} \, . $$

• Elektrón sa snaží byť vo vlastnom stave s najnižšou energiou. Vlastný stav s najnižšou energiou $E_0$ (vlastná hodnota) sa volá základný stav.

Viac elektrónov

Ak máme v systéme viac ako jeden elektrón, tak postupujeme podľa výstavbového princípu:

1. Vlastné stavy sa postupne obsadzujú podľa vlastnej energie. Od najnižšej energie po najvyššiu.
2. V jednom stave môžu byť maximálne 2 elektróny.

Prechody

Keď máme elektrónový systém v základnom stave, tak môže absorbovať svetlo. Musia byť však splnené všetky tieto podmienky:

1. Pri absorbcii jedného fotónu zmení stav iba jeden elektrón.
2. Elektrón môže preskočiť iba do neobsadených stavov (stavy, kde je 0 alebo 1 elektrón).
3. Energia fotónu $E_\gamma$ musí presne zodpovedať rozdielu energií stavov $E_\gamma = E_j - E_i$.
4. Vektor prechodu $\vec R_{i,j}$ medzi stavmi musí byť nenulový

$$ \vec R_{i,j} = \sum_{m}^{N} \vec r_m c^\ast_{i,m} c_{j,m} \, , $$

kde $\vec r_m$ je vektor polohy $m$-tého atómu.

Intenzita prechodu $I$ je daná vzťahom

$$ I = \frac{2}{3} E_\gamma \left|\vec R_{i,j}\right|^2 $$

Zadanie

Organické molekuly, ktoré majú konjugované dvojité väzby (to znamená, že sa strieda dvojitá a jednoduchá väzba medzi uhlíkmi), sa dajú zjednodušene popísať týmto modelom:

• Každý uhlík, ktorý má na sebe dvojitú väzbu, prispieva jedným elektrónom.
• Tieto elektróny sa môžu nachádzať iba na uhlíkoch s dvojitou väzbou.
• Hamiltonián elektrónov v tomto systéme sa dá popísať ako

$$ H_{i,j} = \begin{cases} \alpha & \mathrm{pre} \, i = j \\ \beta & \text{ak uhlíky } i \text{ a } j \text{ sú susedné} \\ 0 & \text{ostatné prípady.} \end{cases} $$

1. Aký dlhý reťazec konjugovaných dvojitých väzieb potrebujeme, aby sme dostali látku oranžovej farby? Porovnajte s dĺžkou reťazca $\beta$-karoténu.
2. Predpovedajte farbu benzénu, azulénu a tetracénu. Porovnajte so skutočnou farbou týchto látok.

Na hľadanie vlastných stavov a energií môžete používať výpočtovú techniku. Použite hodnotu $\beta = -2{,}5 \, \mathrm{eV}$. Predpokladajte planárnu geometriu molekúl, rovnaké vzdialenosti susedných uhlíkov $a$, pravidelné $n$-uholníky a pre $\beta$-karotén priamy cik-cak reťazec konjugovaných väzieb s väzbovým uhlom 120°. Model skúma iba systém elektrónov v konjugovaných väzbách.

Nápoveda: Najprv nájdite vlastné stavy, potom základný stav systému, nakoniec povolené prechody.