Jakub si chystal breathariánsku polievku. Prázdny tlakový hrniec naplnený iba vzduchom dal na zapnutý sporák. Najprv sa nič nedialo. Následne sa začal tlakový ventil hrnca pravidelne otvárať a zatvárať. Nakoniec bol hrniec ticho. Popíšte, koľko trvalo, kým hrniec zasyčal prvýkrát, ako dlho hrniec syčal, ako dlho trvali pauzy medzi syčaním, koľkokrát hrniec zasyčal a po akom čase sa stav hrnca ustálil.

Uvažujte konštantný objem hrnca $V = 5 \, \mathrm{l}$, tepelnú kapacitu hrnca $C = 1,2 \, \mathrm{kJ/K}$, tepelný príkon variča $H = 1,2 \, \mathrm{kW}$, teplotu okolia $T_a = 20 \, ^\circ \mathrm{C}$, tlak okolia $P_a = 1 \, \mathrm{atm}$, počiatočnú teplotu $T_0 = T_a$ a vzduch je dvojatómový ideálny plyn s efektívnou molárnou hmotnosťou $M = 29 \, \mathrm{g/mol}$. Hrniec stráca teplo do okolia výkonom $- k (T - T_a)$, kde $k = 4 \, \mathrm{W/K}$ je koeficient straty tepla. Tlakový ventil sa otvorí pri tlaku $P_\mathrm{on} = 180 \, \mathrm{kPa}$ a zatvorí sa pri tlaku $P_\mathrm{off} = 175 \, \mathrm{kPa}$. Otvorený ventil vypúšťa hmotnosť podľa vzťahu $\dot m = - C_d S \sqrt{2 \rho (P- P_a)}$, kde $\rho$ je hustota plynu, $P$ je tlak plynu, $P_a$ je tlak okolia, $S = 1 \, \mathrm{mm^2}$ je plocha otvoru ventilu a $C_d = 0,7$ je bezrozmerný parameter.

Predpokladajte nasledujúce:

• Tlaky $P_\mathrm{on} \approx P_\mathrm{off} \approx P'$ sú podobné a rozdiel medzi nimi je výrazne menší ako je ich veľkosť $P_\mathrm{on} - P_\mathrm{off} \ll P'$.
• Tepelná kapacita plynu je zanedbateľná oproti tepelnej kapacite hrnca a plyn má rovnakú teplotu ako hrniec.
• Čas jedného syčania je relatívne krátky oproti času zohrievania a teplota sa počas syčania prakticky nemení.

Riešte vo všeobecnosti, vyčíslite pre zadané hodnoty a overte tri použité predpoklady.