Rovnice geometrickej optiky – Fermatov princíp najkratšieho¹ času, no tiež Maxwellove rovnice, z ktorých pramení – majú zrkadlovú symetriu: transformácia $x \mapsto -x$ ich zachováva. Ideálne rovinné zrkadlo realizuje práve takúto transformáciu. Preto si ho môžeme odmyslieť, ak pologuľu preklopíme. Dostávame tak celú guľu – pozri obrázok. Analýza sa potom zvrháva na vysvetlenie klasickej dúhy na guľovej kvapke.

Cesta lúča v prípade primárnej dúhy (jeden vnútorný odraz od kvapky) od kvapiek na zrkadle. Lúč vstupuje do kvapky v oranžovom bode, láme sa. Oranžové čiary sú zrkadlovým obrazom modrých a znázorňujú šírenie v guľovej kvapke bez zrkadla.

Fyzikálne vysvetlenie klasickej dúhy je dobre známe, no aj tak si ho tu zhrňme. Dúha vzniká, keď veľa lúčov zasiahne veľké množstvo kvapiek. Zväzok lúčov vstúpi do kvapky, zlomí sa, niekoľkokrát sa v nej odrazí a pri výstupe sa opäť zlomí. Primárna dúha vzniká pri jednom vnútornom odraze, no poznáme aj dúhy vyššieho rádu (a progresívne slabšej intenzity), ktoré zodpovedajú $k$ vnútorným odrazom. Aby odrazené lúče vytvorili viditeľný žiarivý pás, je potrebné, aby sa skoncentrovali. Ako si ukážeme, ak lúče vstúpia do kvapky blízko istého uhla, maximálne sa skoncentrujú – vytvoria kaustiku. Toto je uhol, pod akým vidíme jednotlivé vrstvy dúhy. V priblížení geometrickej optiky je funkciou iba počtu vnútorných odrazov $k$ a indexu lomu (a teda frekvencie svetla) $n$. Poďme určiť túto funkciu.

Na obrázku vidíme cestu lúča guľatou kvapkou.

Prechod lúča kvapkou.

Nech (oranžový) uhol, pod ktorým lúč vstupuje do kvapky, je $i$, potom podľa Snellovho zákona platí $$ \tag{1} \sin(i) = n \sin(r) $$ kde $r$ je (čierny) uhol po lome. Následne lúč putuje kvapkou, až kým nepríde na okraj – tam sa časť zlomí a putuje von a časť sa odrazí späť do kvapky pod rovnakým uhlom (zákon odrazu). Vďaka tomu a rovnoramennosti všetkých trojuholníkov na obrázku sú si všetky čierne uhly rovné. Preto aj všetky oranžové uhly sú rovnaké. Nás zaujíma, o aký uhol sa lúč celkovo stočí oproti pôvodnému smeru.

Z obrázka je zrejmé, že príspevok za vstup a výstup z kvapky je $i-r$ a za každý vnútorný odraz $\pi-2r$. Po $k$ vnútorných odrazoch teda máme zmenu smeru o $$ \Delta_k (i) = 2(i-r)+k(\pi-2r) = k\pi + 2i-2(k+1)\arcsin\left(\frac{\sin i}{n}\right) $$ kde $r$ sme určili z (1). Maximálnu koncentráciu lúčov dostávame, keď je splnená kaustická podmienka $$ 0 = \frac{\mathrm d\Delta_k}{\mathrm{d} i} = 2-2(k+1)\frac{\cos i}{\sqrt{n^2-\sin^2 i}}~. $$ Táto rovnica má riešenie pre $k>0$ a $1\leq n\leq k+1$: $$ \cos i = \sqrt{\frac{n^2-1}{k^2+2k}}~. $$ Pre červené svetlo a prechod vzduch-voda máme $n=1.33$ a pre fialové $n=1.344$. V prípade primárnej dúhy $k=1$ dostávame $\Delta_1 \approx 137.5^\circ$ pre červené svetlo a $\Delta_1 \approx 139.5^\circ$ pre fialové svetlo. Fialové svetlo sa teda zlomí viac. Pozorovateľ preto uvidí fialový okraj dúhy ako vnútorný pod uhlom $40.5^\circ$ od smeru dopadajúcich lúčov a červený okraj ako vonkajší pod uhlom $42.5^\circ$. Dúha má teda uhlovú šírku zhruba $2^\circ$.

Poznámka

Ako sme videli, zrkadlo si môžeme úplne odmyslieť pre lúče typu $k=1$. Pre niektoré vyššie $k$ (napr. $k=4$) však uvidíme zrkadlový obraz klasickej $k$-dúhy, takže celkom si ho odmyslieť nemôžeme. Trik s rozvinutím cez zrkadlo síce funguje všeobecne, ale pri skladaní späť do pologule treba sledovať, koľkokrát lúč pretne rovinu zrkadla. To ovplyvní, na ktorej strane a v akej orientácii sa príslušný lúč objaví, nie však samotnú kaustickú podmienku.