Hľadáme taký bod $B$, aby sa pri malom posune $B \to B’$ nemenila hodnota funkcie $H(A, B)+ H(B, C)$ do prvého rádu: to znamená, že ak je vzdialenosť medzi $B$ a $B’$ okolo $\varepsilon$, tak zmena $H(A, B’)+ H(B’, C) - (H(A, B)+ H(B, C))$ musí byť úmerná až $\varepsilon^2$. Preto budeme skúmať túto zmenu do prvého rádu v $\varepsilon$. Označme si vektory $\mathbf{v} = \overrightarrow{AB}$, $\mathbf{w} = \overrightarrow{CB}$ a aj posun bodu $B$ ako $\mathbf{d} = \overrightarrow{BB’}$.

Prípad 1

Ak je funkcia $H$ rovná dĺžke cesty, tak súčet $H(A,B)+ H(B, C)$ vieme vyjadriť pomocou skalárneho súčinu ako $$ H(A,B)+ H(B, C) = \sqrt{\mathbf v \cdot \mathbf v} + \sqrt{\mathbf w \cdot \mathbf w}. $$ Pri posune bodu $B$ o $\mathbf{d}$ sa táto veličina zmení na $$ H(A,B’)+ H(B’, C) = \sqrt{(\mathbf v + \mathbf d)\cdot (\mathbf v+ \mathbf d)} + \sqrt{(\mathbf w+\mathbf d) \cdot (\mathbf w+\mathbf d)}. $$ Pozrime sa, ako sa mení napríklad vzdialenosť medzi $A$ a $B$ $$H(A,B’)= \sqrt{ \mathbf v ^2 (1 + 2 \mathbf v \cdot \mathbf d / \mathbf v^2 + \mathbf d^2/ \mathbf v^2 ) } \approx \sqrt{ \mathbf v ^2 }(1 + \mathbf v \cdot \mathbf d / \mathbf v^2)= H(A,B) + \mathbf v \cdot \mathbf d / \sqrt{\mathbf v^2}, $$ kde sme použilii Bernoulliho aproximáciu $\sqrt{(1+x)} \approx 1+ x/2$ a tiež sme zanedbali člen s $\mathbf d^2$. Súčet vzdialeností $H(A,B)+ H(B, C)$ sa teda zmení pri posune $B \to B’$ v prvom ráde o $$\mathbf v \cdot \mathbf d / \sqrt{\mathbf v^2} + \mathbf w \cdot \mathbf d / \sqrt{\mathbf w^2} = \mathbf d \cdot (\mathbf v / \sqrt{\mathbf v^2}+\mathbf w / \sqrt{\mathbf w^2}). $$ Výraz v zátvorke je súčet \emph{normovaných} vektorov od $A$ resp. $C$ do $B$. Tento vektor delí uhol $ABC$ na dve rovnaké polovice. Jeho skalárny súčin s $\mathbf d$ bude nulový práve ak bude tento súčet kolmý na $\mathbf d$, alebo inak povedané ak bude uhol dopadu a uhol odrazu v bode $B$ rovný.

Môžeme si všimnúť, že sme dostali rovnaké správanie ako je správanie lúčov svetla pri odraze: je to kvôli tomu, že aj lúče sa hýbu po trasách s extremalizovanou dĺžkou.

Prípad 2

Ak je funkcia $H$ rovná obsahu pravej časti stola medzi trasou gule a okrajom, tak sa rovno pozrieme na zmenu súčtu týchto obsahov. Povedzme, že $\mathbf d$ ukazuje doľava. Obsah $H(A, B)$ sa teda pri zmene z $B$ na $B’$ zväčší o obsah trojuholníka $ABB’$, ale obsah $H(B,C)$ sa zmenší od obsah trojuholníka $CBB’$. Pre extremálne $B$, ktoré hľadáme, sa tieto obsahy musia rovnať.

Ak poznáme dve strany trojuholníka ako vektory, tak jeho obsah je polovica ich vektorového súčinu. Podmienka rovnosti obsahov trojuholníkov sa dá teda zapísať ak rovnosť vektorových súčinov $$ \mathbf v \times \mathbf d = \mathbf w \times \mathbf d $$ alebo teda $$ (\mathbf v- \mathbf w) \times \mathbf d = 0. $$ Vektor $\mathbf v - \mathbf w$ je jednoducho vektor $\overrightarrow{AC}$, a naša podmienka hovorí, že tento vektor musí byť rovnobežný s vektorom $\mathbf d$, ktorý je dotyčnicový k stolu. Bod $B$ bude ležať v bode, kde je priamka rovnobežná s $AC$ dotyčnicová ku stolu.

Ako si všimla Petra Čobrdová, tak extremalizovanie súčtu $H(A, B) + H(B, C)$ je ekvivalenté extremalizovaniu obsahu trojuholníka $ABC$. Keďže je jeho podstava $AC$ fixná, tak stačí extremalizovať jeho výšku. To ale nastane práve keď je dotyčnica ku stolu v bode $B$ rovnobežná s $\overrightarrow{AC}$, čo je naša nájdená podmienka. \medskip

Vidíme tiež, že bude obvod stola dostatočne zvlnený, tak bodov $B$ môže existovať viacero. Pri matematickom štúdiu podobných biliardov sa preto často predpokladá, že stôl je konvexný.

Princíp extremálneho účinku

Správanie takýchto umelých biliardových systémov je príkladom systému ktorý podlieha princípu extremálneho účinku. Väčšina (klasických) fyzikálnych systémov sa správa podľa tohoto princípu. Jeden významný rozdiel ale je, že musíme skúmať všetky možné dráhy s fixným začiatkom a koncom, pričom pre náš biliard sme predpokladali, že medzi odrazmi sa guľa hýbe rovno. Takáto záľaha možných trás spôsobí, že extremálna dráha bude daná diferenciálnou rovnicou namiesto našej jednoduchej podmienky na bod $B$.

Ako si všimol Richard Dudek, prípad 2 je nelokálny, teda na správanie sa pri odraze nestačí poznať len malé okolie bodu kde tento odraz nastáva, na rozdiel od prípadu 1. To je spôsobené tým, že účinok $H$ je v prípade 2 nelokálny, keďže závisí od tvaru okraja stola ďaleko od biliardovej gule.