Keďže sila od magnetického poľa je kolmá k vektoru $\vec{B}$, zatiaľ čo sila od elektrického poľa ide v smere $\vec{E}$, vektor zrýchlenia náboja bude ležať v rovine kolmej k $\vec{B}$. A keďže jeho počiatočná rýchlosť tiež leží v tejto rovine, bude sa pohybovať iba v tejto rovine. Označme si teda pôvodný smer náboja ako smer $x$ a smer elektrického poľa ako smer $y$. Zadanie nešpecifikuje orientáciu $\vec{B}$ voči tejto rovine, tak si ju zvolíme napríklad tak, že bude platiť $$ \begin{align} F_x &= q v_y B \\ F_y &= -q v_x B + q E \,. \end{align} $$ A v oboch smeroch samozrejme platí, že $a=F/m$, kde zároveň $a=\dot v$ $$ \begin{align} \dot v_x &= \frac{q}{m} B v_y \\ \dot v_y &= \frac{q}{m} (E-B v_x ) \,. \end{align} $$

Sústavu diferenciálnych rovníc vyriešime tak, že druhú z nich zderivujem podľa času, čím dostanem $$ \ddot v_y = -\frac{q}{m} B \dot v_x \,, $$ kde za $\dot v_x$ môžeme dosadiť z prvej rovnice a dostávame rovnicu pre $v_y$ $$ \ddot v_y = -\left( \frac{q}{m} B \right)^2 v_y \,, $$ čo je rovnica lineárneho harmonického oscilátora s uhlovou frekvenciou $\omega=q B/m$. Zatiaľ nevieme, aká bude amplitúda tejto rýchlosti, avšak vieme, že na začiatku bola rýchlosť náboja v smere $x$ (tak sme si smer $x$ definovali), čiže $v_y(0)=0$ a teda môžeme písať $$ v_y(t) = V \sin \left( \frac{q}{m} B t \right) \,, $$ pričom to, do ktorej strany sa náboj vychýli najprv, sa schová do znamienka $V$. Teraz už len spätne dosadíme do druhej z diferenciálnych rovníc $$ \begin{align} V \frac{q}{m} B \cos \left( \frac{q}{m} B t \right) &= \frac{q}{m} (E-B v_x(t) ) \\ v_x(t) &= \frac{E}{B}- V \cos \left( \frac{q}{m} B t \right) \,. \end{align} $$ Máme zadané, že $v_x(0)=v_0$, to môžeme dosadiť a vyjadriť z toho parameter $V$ $$ v_0 = \frac{E}{B} - V \rightarrow V= \frac{E}{B} - v_0 \,, $$ takže rýchlosť v závislosti od času bude $$ \begin{align} v_x(t) &= \frac{E}{B}- \left( \frac{E}{B} - v_0 \right) \cos \left( \frac{q}{m} B t \right) \\ v_y(t) &= \left( \frac{E}{B} - v_0 \right) \sin \left( \frac{q}{m} B t \right) \,. \end{align} $$ Dalo by sa povedať, že vektor rýchlosti “rotuje” po kružnici so stredom v $( E/B,0 )$ a polomerom $E/B-v_0$.

Polohu častice v čase zistíme tak, že zintegrujeme jej rýchlosť $$ \begin{align} x(t) &= \frac{E}{B}t- \left( \frac{E}{B} - v_0 \right) \frac{m}{B q} \sin \left( \frac{q}{m} B t \right) \\ y(t) &= -\left( \frac{E}{B} - v_0 \right) \frac{m}{B q} \cos \left( \frac{q}{m} B t \right) \,. \end{align} $$ Ak by sme chceli, aby častica začínala v bode $(0,0)$ tak potom dostaneme $$ y(t) = \left( \frac{E}{B} - v_0 \right) \frac{m}{B q} \left(1- \cos \left( \frac{q}{m} B t \right) \right)\,. $$ V skratke si pohyb môžeme rozložiť na pohyb rýchlosťou $E/B$ v smere osi $x$ a na rotáciu po kružnici s polomerom $$ r = \left( \frac{E}{B} - v_0 \right) \frac{m}{B q} \,. $$

Takáto konfigurácia sa dá použiť ako filter, ktorý vyberie len častice s jednou rýchlosťou, konkrétne sa veľmi podobá na “Wien filter” (nepliesť si s “Wiener filter”). Ak strelíme zväzok častíc do takéhoto poľa, častice s rýchlosťou $E/B$ pôjdu rovno, pretože elektrická a magnetická sila sa odčítajú a častice s inou rýchlosťou budú týmto poľom vychýlené. Lenže zdá sa mi, že väčšina vysvetlení, s ktorými sa človek bežne stretne, za a) potichu ignoruje fakt, že po vychýlení jedným smerom začne zas pole tlačiť častice opačným smerom, za b) tým pádom nevie poriadne vysvetliť, ako to, že nejaké častice prejdu (lebo šanca, že by nejaká častica trafila rýchlosť $E/B$ dokonale presne, je limitne nulová).

Trajektória hmotných bodov začínajúcich z $(0,0)$ v časovom intervale $t \in (0,10)$. Pole je $E=1,B=1$, čierna trajektória značí riešenie pre $q=1,m=1,v_0=1$. Nasledujúce trajektórie sa od čiernej líšia len v jednom parametri: hnedá je pre rýchlosť $v_0=3$, modrá pre $v_0=1.2$, zelená pre $v_0=0.8$, červená pre $v_0=0$. Nakoniec oranžová je pre rýchlosť $v_0=0.8$ a hmotnosť $m=2$.

Na základe toho, čo sme si spočítali, vieme presne na toto odpovedať. Predstavme si, že filter má dve rovnobežné steny vzdialené od seba $d$ (čo by zároveň mohli byť steny kondenzátora, ktorý vytvára to homogénne elektrické pole). Ak nejaká z častíc narazí do jednej z tých stien, tak sa zastaví a bude uzemnená. Náš zväzok častíc teda strelíme do roviny presne medzi stenami filtra. Potom častica s počiatočnou rýchlosťou $v_0$ bude voči tejto rovine vychýlená maximálne o $$ \Delta y= 2r = 2 \left( \frac{E}{B} - v_0 \right) \frac{m}{B q} \,, $$ tu je podstatné si uvedomiť, že častica bude “kmitať” len na jednu stranu od tej stredovej roviny, preto sa od nej nevychýli o $r$, ale o $2r$. No a keďže vzdialenosť nevychýlenej trajektórie od steny filtra je $d/2$, preletia častice, pre ktoré $|2r|<d/2$, čiže $$ \left| \frac{E}{B} - v_0 \right| < d \frac{B q}{4m} \,. $$ Jasne teda vidíme, že filter prepúšťa interval rýchlostí okolo tej požadovanej, pričom šírka toho intervalu sa dá ovplyvniť či už vzdialenosťou stien alebo intenzitou polí.

Dodal by som, že z uhla pohľadu fyziky plazmy, je toto úloha na tzv. “E cross B drift”. Ide o to, že v oblasti s takto skríženým elektrickým a magnetickým poľom všetky častice (bez ohľadu na náboj, hmotnosť a počiatočnú rýchlosť) driftujú priemernou rýchlosťou $E/B$ v smere kolmom k týmto poliam. Všetky vzorce potrebné pre túto úlohu ide vygoogliť, akurát je treba a) veľmi dobre googliť, b) vyznať sa v tom, ako sú tie výsledky zapísané. Za seba napríklad môžem povedať, že na to, že na vyriešenie úlohy vlastne stačilo do vzorcov pre “cyclotrone motion” dosadiť za $v_\perp=E/B-v_0$, som prišiel jedine tak, že som si úlohu spočítal a spätne moje výsledky porovnal s rovnicami, čo som našiel. A z riešení mi pripadá, že pre väčšinu z vás bolo počítanie tiež tá ľahšia a istejšia cesta, čo ma celkom teší.