V tomto príklade si vysvetlíme a spočítame kvantové tunelovanie elektrónov, aj keď po prečítaní tejto vety sa vám pravdepodobne dvíha žalúdok, tak vedzte že pravdepodoben zvládnete príklad spočítať a vždy môžete odovzdávať iba čiastočné riešenia. Pomôže nám to lepšie pochopiť zákony mikrosveta a princípy, na ktorom funguje scanning tunnelling microscope, stroj na skúmanie tenkých vrstiev materiálov.

Úvod

Najskôr si vysvetlíme, ako vyzerá interakcia vlny s povrchom materiálu. Vieme, že výchylku vlny, napríklad elektromagnetickej alebo aj vlny na hladine vody, možno popísať rovnicou: $$ \psi(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \phi)\text{,} $$

kde $A$ je amplitúda (napr. výška alebo intenzita elektrického poľa), $\phi$ je fázový posun, $\omega$ uhlová frekvencia, $k = 2\pi/\lambda$ tzv. vlnové číslo, ktoré rastie so zmenšujúcou sa vlnovou dĺžkou $\lambda$. Vzťah medzi $k$ a $\omega$ sa líši od systému, je iný pre vlny na vode, elektromagnetické žiarenie, ako aj pre elementárne žiarenie. Dokonca je iný aj pre rôzne častice v rôznych materiáloch. Efektívne v sebe skrýva informáciu o mechanizme interakcie daného objektu s danou látkou. Napríklad pre svetlo platí $\omega = ck$, kde $c$ je rýchlosť svetla a pre voľné elektróny $\omega = \hbar k^2/(2m)$, kde $\hbar$ je Planckova konštanta a $m$ je hmotnosť elektrónu.

Elektrón ako vlnu popíšeme komplexnou exponenciálou, ktorá je všeobecnejšia ako kosínus. Amplitúdu položíme rovnú jednej a fázu nule, a predpokladáme, že vlna sa šíri smerom doprava: $$ \psi(x) = e^{ikx}\text{.} $$

Hybnosť elektrónu je $p = \hbar k$, z čoho vychádza už spomínaná kinetická energia $E= p^2/(2m) = \hbar k^2/(2m)$. Pre elektrón idúci doľava jednoducho otočíme znamienko: $\psi(x) = e^{-ikx}$. Tiež sme vyhodili čas, pretože uvažujeme časovo nepremenný proces, t. j. elektróny pumupujeme nejakým strojom smerom doprava. Produkujeme teda nielen jeden elektrón, ale súvislý a konštantný tok.

* Tunelovania cez bariéru. *

Keď takáto vlna narazí na prekážku, ktorej výška (meraná v energii, napr. v gravitačnom poli ako $V = mgh$, viď.  ??) je nižšia ako kinetická energia elektrónu, časť vlny sa odrazí a časť prejde. Podobne, ako keď morská vlna narazí na útes, ktorý je nižší ako výška vlny. No v mikrosvete môže vlna prejsť cez prekážku aj v prípade, keď je energetická bariéra vyššia, odtiaľ výraz tunelovanie[^1]. Experimenty tento neintuitívny jav podporujú a tu si ukážeme, ako ho možno popísať.

Druhá mocnina vlnovej funkcie je rovná hustote pravdepodobnosti výskytu častice v priestore. Pre rovinnú vlnu platí ${|\psi(x)|}^2 = \psi(x)\psi^{*}!(x) = 1$, a teda nachádza sa všade rovnako, keďže elektróny pumpujeme konštantným tempom).

Náš systém

Majme rovinnú vlnu $\psi(x) = e^{ikx}$, ktorá zľava dopadá na bariéru o šírke $a$ a energetickej výške $V_0$. Základná vlastnosť vlnovej funkcie je energia, z ktorej môžno odvodiť vlnové číslo ako $k = \frac{\sqrt{2mE}}{h}$.

Naším cieľom je zistiť ako bude vyzerať vlna, ktorá prejde do bariéry, ako aj tá, ktorá vyjde z bariéry. Máme teda tri tvary vlny:

1. naľavo, člen ktorý pumpujeme a odrazený člen s polomerom $r$: $$ \psi_1(x) = e^{ik_1x} + re^{-ik_1x}\,\text{,} $$

2. v bariére: $$ \psi_2(x) = Ae^{ik_2x} + Be^{-ik_2x}\,\text{,} $$

3. a napravo, člen, ktorý sa šíri len doprava. $$ \psi_3(x) = te^{ik_1x}\,\text{.} $$

Máme tiež dva predpoklady:

1. Vlna je na rozhraní spojitá: $$ \psi_1(x = 0) = \psi_2(x = 0) \quad \text{a} \quad \psi_2(x = a) = \psi_3(x = a)\,\text{.} $$

2. Nemôže nastať skok v sklone vlny, teda aj prvá derivácia je všade spojitá. V opačnom prípade by vlna mala nekonečnú kinetickú energiu. $$ \psi_1’(x = 0) = \psi_2’(x = 0) \quad \text{a} \quad \psi_2’(x = a) = \psi_3’(x = a)\,\text{.} $$

Zadanie

1. Aké je vlnové číslo $k_2$ pre vlnu vnútri bariéry? Je vždy reálne?

2. Vyriešte štyri rovnice spojitosti vlnovej funkcie a jej derivácie na rozhraniach o štyroch neznámych $r, t, A, B$. Čomu sa rovná $r$ a $t$?

3. Veličina $T = |t| = tt^{*}$ (transmisivita) udáva množstvo elektrónov, ktoré prejdú na druhú stranu bariéry za jednotku času, teda niečo ako prietok. Ako závisí $T$ od energie elektrónov $E$ na začiatku? Nakreslite túto závislosť od $E/V_0 = 0$ po $E/V_0 = 3$. Zvoľte fixnú šírku bariéry $a = 2\pi.$

4. Pre $E > V_0$, ako možno vysvetliť lokálne minimá?

* Závislosť pravdepodobnosti tunelovania cez bariéru. *

1. Pre lepšie pochopenie tiež odporúčame tento komiks: http://www-ucjf.troja.mff.cuni.cz/scheirich/\?attachment_id=73↩