Navigácia GPS pozostáva z najmenej 24 satelitov, ktoré obiehajú okolo Zeme vo vzdialenosti $h=26\,600\,\textrm{km}$ od jej stredu rýchlosťou $v\sim 3{,}9\,\textrm{km.s}^{-1}$. Všetky satelity si so sebou nesú atómové hodiny a sú vzájomne zosynchronizované. V istých časových intervaloch satelity simultánne vysielajú signál, ktorý obsahuje informáciu o ich orbitálnej polohe a čase vyslania signálu. Využitím tejto informácie z viacerých satelitov dokáže prijímač na Zemi určiť svojhu polohu. V tejto úlohe si ukážeme, že na správne fungovanie navigácie je potrebné zahrnúť relativistické korekcie.

Podľa Einsteinovho princípu ekvivalencie je zrýchľujúca vzťažná sústava nerozlišiteľná od pokojnej sústavy nachádzajúcej sa v homogénnom gravitačnom poli.

1. Pomocou výpočtov v zrýchľujúcej sústave ukážte, že čas v gravitačnom poli sa spomaľuje. Konkrétne odvoďťe, že v slabom homogénnom gravitačnom poli ($gH\ll c^2$) platí pre podiel tikania identických hodín vo výškach $h=0$ a $h=H$ $$ \frac{T_H}{T_0}=1-\frac{gH}{c^2}, $$ kde $g$ je gravitačné zrýchlenie. Obom hodinám trvá, samozrejme, tiknutie vo svojej vzťažnej sústave rovnako dlho. Rozdiel je pozorovateľný, ak sa na obe hodiny nahliada v jedinej vzťažnej sústave.

Dá sa ukázať, že v nehomogénnom gravitačnom poli, napr. radiálnom gravitačnom poli Zeme, sa predošlý vzťah zovšeobecňuje na

$$ \frac{t_1}{t_2}=1-\frac{\phi}{c^2} $$ kde $\phi$ je rozdiel gravitačných potenciálov medzi bodmi $1$ a $2$.

2. Zistite, o koľko sa rozladia atómové hodiny od pozemských v priebehu jedného dňa v dôsledku špeciálnej relativity (obeh hodín okolo Zeme) a v dôsledku gravitačného poľa.

Tento problém sa dá vyladiť, ak na orbitu vynesieme atómové hodiny tikajúce pomalšie.

3. Odhadnite, aká by bola nepresnosť určenia našej polohy na Zemi po jednom dni od spustenia navigácie, ak by sme atómové hodiny na orbite nevyladili.