Zamyslime sa nad kvapalinami tečúcimi vo zvislých rúrach. Vo všeobecnosti pre nestlačiteľné kvapaliny platí nasledovná verzia obludnej Navier-Stokesovej rovnice: $$ \rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+v\cdot\nabla v\right) = -\nabla p + \eta\nabla^2 v - \rho g \, , $$ kde $v$ je rýchlosť kvapaliny v danom bode, $p$ je tlak a $\eta$ je dynamická viskozita. Netreba sa ale báť, všetko sa dá, keď sa chce.

Majme nekonečne dlhú zvislú rúru s polomerom $R$ v homogénnom gravitačnom poli $g$.

1. Nájdite všeobecné stacionárne riešenie, i.e. rozloženie rýchlosti $v$ od polohy, ktoré bude spĺňať túto rovnicu a spočítajte maximálnu rýchlosť, ktorou kvapalina potečie, a jej celkový prietok. Predpokladajte, že rýchlosť vody na kraji rúry je nulová. (Hint: použite cylindrické súradnice, jednotlivé trojuholníkové operátory v týchto súradniciach nájdete napr. na wiki).

2. Aby nám vyšlo niečo konkrétne, dosaďte hodnoty pre vodu, olej, med v slamke a vodu v odpadovej rúre s priemerom 15 cm.

3. Ako si určite tipnete, med v slamke tečie veľmi pomaly. Aby sme mu pomohli, tak okrem neho do slamky dáme ešte vrstvu vody a to tak, že vnútri potečie med vo valci s polomerom $R_1$ a medzi ním a stenou slamky potečie vrstva vody. Aké má byť $R_1$, ak chceme maximalizovať prietok medu? Predpokladajte, že voda a med sa nemiešajú a tok je laminárny (bez turbulencií).