S Isingovym modelom ste sa mohli zoznámiť v 8. ročníku. Na zopakovanie, je to najjednoduchší model feromagnetizmu zo začiatku 20. storočia, no vedcov dodnes neprestáva fascinovať.

Na mriežke máme niekoľko magnetiek, ktoré sú otočené nahor alebo nadol, a podľa toho majú magnetický moment (spin) s $+1$ alebo $-1$. Každá magnetka pôsobí len na svojho suseda, nie ďalej. Keď sú dve susedné magnetky orientované rovnakým smerom, sú v energetickom minime a ich energia je záporná, $-J$, keď opačným smerom, ich energia je kladná. Celková energia mriežky je tak $$ E = -J\sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j, $$ kde $J$ je nejaká pozitívna konštanta a $\langle\ \rangle$ značí sumáciu cez susedné body; je to jednoducho $$ E = -J\sum_{i=1}^{N-1} s_i s_{i+1} + s_N s_1. $$ Uvažujeme periodické okrajové podmienky, čo znamená, že z priamky spravíme akoby kruh, aby $N$-tá magnetka susedila s prvou. Tento koncept slúži na potlačenie okrajových podmienok – chceme, aby mala každá magnetka rovnaký počet susedov (v 1d dvoch, v 2d štyroch a tak ďalej).

Cieľom tejto úlohy je numericky nasimulovať správanie mriežky a zistiť, ako závisí energia $E$ a priemerná magnetizácia (priemerovaná vzhľadom na čas) mriežky $\langle m\rangle_t$ od teploty, kde $m = \sum_{i=1}^{N} s_i/N$ je priemerný spin na jednu magnetku. Na simulovanie sa využívajú takzvané Monte Carlo metódy, špecificky Metropolisov algoritmus, ktorý pozostáva z nasledujúcich krokov:

1. Vyberte náhodný spin na mriežke.
2. Otočte tento spin a spočítajte zmenu energie $\Delta E$ oproti pôvodnému stavu.
3. Ak energia klesla, prijmite túto zmenu a opakujte krok 1.
4. Ak energia stúpla, vygenerujte náhodné číslo $p$ medzi 0 a 1. Ak $p < e^{-\Delta E/k_B T}$, prijmite túto zmenu a opakujte krok 1. V opačnom prípade zmenu ignorujte a opakujte krok 1.

Časť A: 1D model

Naprogramujte simuláciu 1d mriežky s periodickými okrajovými podmienkami, ktorej výstupom bude závislosť energie a magnetizácie od teploty, pre $N = 10$ až $20$. Vhodne zvoľte rozmedzie pre teplotu $T$. Na každý teplotný bod zopakujte Metropolisov algoritmus otáčania spinov niekoľkotisíckrát a predtým, ako začnete “merať”, nechajte systém vyekvilibrovať, teda prvých cca 1000 otočení nezaznamenávajte do priemeru.

Časť B: 2D model

Analyticky vyriešiť 2d model je omnoho ťažšie ako 1d model (Prišiel na to Lars Onsager až v roku 1944, zatiaľ čo 1d verziu vyriešil sám Ising s vyhlásením, že na “jeho” modeli nie je nič zaujímavé. Ako uvidíte, mýlil sa.). Nasimulovať ho na počítači je však približne rovnako zložité. Vytvorte druhý program, ktorého výstupom bude opäť závislosť energie a magnetizácie od teploty. Ako naznačujú grafy, 2d model sa od 1d modelu zásadne, priam prelomovo líši. V čom presne?

Poznámky na záver:

• Z programovacích jazykov odporúčame C/C++, Fortran, Python alebo Matlab. Konštantu $k_B$ môžete položiť rovnú 1.
• Nezabudnite na komentovanie toho, čo robíte, rozumné a pochopiteľné názvy premenných, odsádzanie riadkov, a ukladanie čo najväčších kusov kódu do funkcií. Veľmi to oceníme, a aj vy pri opätovnom čítaní vlastného kódu s odstupom niekoľko týždňov. :)
• Ak nebudete niečo vedieť naprogramovať, napr. generovanie náhodných čísel, gúgl je plne k vašej dispozícii. Ak budete naozaj bezradní, napíšte nám email a my vám skúsime pomôcť.