Odporúčame stiahnuť si aj zadanie vo formáte PDF obsahujúce doplňujúce poznámky a prehľadnejšie rovnice.

V tejto úlohe sa pozrieme na zub voľnému pádu na zem. Pád bude prebiehať z výšky $h$ nad povrchom (merané zvislo, t.j. v smere tiaže) nad miestom so zemepisnou šírkou $\phi$. Zavedieme lokálne súradnice s počiatkom v mieste na povrchu, sponad ktorého púšťame teleso, pričom $z$-ovú os volíme zvislo nahor, $x$-ovú smerom na západ a $y$-ovú smerom juh. V týchto súradniciach v neinerciálnej rotujúcej sústave je pohyb hmotného bodu počas pádu daný pohybovou rovnicou $$ \frac{d^2 \vec r}{dt^2} = \vec g_0 − \vec\Omega \times [\vec\Omega \times (\vec R+\vec r)] − 2 \vec \Omega \times \frac{d \vec r}{dt}, $$ kde $\vec g_0$ je vektor gravitačného zrýchlenia ako funkcia vektora $\vec r$ udávajúceho polohu v nami zavedenej vzťažnej sústave, $\vec R$ je vektor od osi otáčania Zeme (napr. od stredu Zeme) do počiatku našich lokálnych súradníc a $\vec \Omega$ značí vektor uhlovej rýchlosti rotácie Zeme.

Budeme uvažovať pád z dostatočne malej výšky na to, aby sme tiaž mohli považovať za homogénnu, výsledná rovnica teda bude $$ \frac{d^2 \vec r}{dt^2} = g \vec e_z − 2 \Omega \vec n \times \frac{d \vec r}{dt}, \tag{1} $$ kde $g$ je veľkosť tiaže pre danú zemepisnú šírku $\phi$. Ďalej si uvedomíme, že veľkostne je druhý člen v predošlej rovnici pre bežné výšky pádu $h$ (a teda pre bežné rýchlosti pádu $\frac{dr}{dt}$) v hlbokom tieni svojho prvého brata. Preto je na mieste nazdávať sa, že pohyb padajúceho telesa bude len málo odlišný od voľného pádu bez započítania Coriolisovej sily. V takýchto prípadoch je užitočné navrhnúť riešenie úlohy v tvare mocninného radu v malom (tzv. poruchovom) parametri $\Omega$, $$ \vec r(t) = \Omega^0 \vec r_0(t) + \Omega^1 \vec r_1(t) + \Omega^2 \vec r_2(t) + \Omega^3 \vec r_3(t) + \dots , $$ čo je matematicky zapísaná predstava, že očakávame riešenie úlohy spojité v parametri $\Omega$. Keď takto navrhnuté riešenie dosadíme do rovnice (1) a požadujeme jej splnenie v každom ráde, tak sa rovnica rozpadne na ľahko riešiteľnú sústavu rovníc, ktoré možno postupne riešiť,

$$ \begin{align*} \Omega^0:& ~~ \frac{d^2 \vec r_0}{dt^2} = -g \vec e_z, \\ \Omega^1:& ~~ \frac{d^2 \vec r_1}{dt^2} = -2 \vec n \times \frac{d \vec r_0}{dt}, \\ \Omega^2:& ~~ \frac{d^2 \vec r_2}{dt^2} = -2 \vec n \times \frac{d \vec r_1}{dt}, \\ \Omega^3:& ~~ \frac{d^2 \vec r_3}{dt^2} = -2 \vec n \times \frac{d \vec r_2}{dt}, \\ …& \end{align*} $$

Vašou úlohou bude spočítať odchýľku miesta dopadu do druhého rádu.