1. Na hmotný bod o hmotnosti $m$ sú pripevnené tri pružiny s nulovou pokojovou dĺžkou a tuhosťami $k_1,k_2$ and $k_3$. Tie pružiny su upevnené na steny jaskyne v bodoch $\vec{r}_1,\vec{r}_2$ a $\vec{r}_3$. Tiažové zrýchlenie je $\vec g$. Nájdite rovnovážnu polohu $\vec{R_r}$ hmotného bodu a nájdite periódu kmitov okolo neho.

2. Majme rovnakú situáciu ako v a), ale namiesto hmotného bodu sa jedná o tuhé teleso (takzvaný všeobecný zemiakoid). Označme polohu jeho ťažiska ako $\vec R$ a body, v ktorých su pružiny upevnené na zemiakoid ako $\vec{s}_1,\vec{s}_2$ a $\vec{s}_3$ (merané vzhľadom na ťažisko v rovnovážnej polohe). Aká musí platiť podmienka, aby bol pohyb ťažiska $\vec R$ totožný tomu v časti a), teda aby pohyb ťažiska nezávisel od rotačného pohybu?
   
   Nápoveda: Pokiaľ nemáte skúsenosti s maticami, tak predpokladajte malé uhly rotácie od rovnovážnej polohy.

3. Predpokladajte, že niekto nám zemiakoid ošúpal na tvar gule (homogénnej) s momentom zotrvačnosti $I$ a pripevnil naň pružiny tak aby platila podmienka z b). Ukážte, že v tomto prípade bude aj rotačný pohyb nezávislý od translačného. Okolo akej osi máme rotačne vychýliť guľu o malý uhol aby vykonávala harmonické rotačné kmity okolo tejto osi?

V celej úlohe predpokladajte, že pružiny ani závažie nenarazia do skaly.

Náčrt s vyznačenou jednou pružinou.