Z bežnej skúsenosti sme zvyknutí, že pri atmosférickom tlaku vieme dosiahnuť fázovú zmenu skupenstva väčšiny materiálov len vďaka znižovaniu teploty (napr. prechod voda-ľad). Pri premene na tuhé skupenstvo sa usporadúvajú jadrá atómov do kryštalickej štruktúry, valenčné elektróny okolo jadier a voľné elektróny (ak materiál nejaké vlastní) sa takmer voľne hýbu priestorom materiálu. Za určitých podmienok vedia prekvapivo aj voľné elektróny prejsť do lokalizovaného usporiadaného stavu, tzv. .

V tejto FX úlohe budeme študovať z teoretického pohľadu kus kovu, ktorému vieme určitým experimentálnym spôsobom znižovať koncentráciu voľných elektrónov, čím v konečnom dôsledku spustíme fázový prechod elektrónov do Wignerovho kryštálu.

Fermiho plocha

Makroskopický homogénny kus kovu budeme modelovať ako plyn elektrónov s danou koncentráciou $n$ v kocke s rozmermi $L \times L \times L$. Zatiaľ budeme predpokladať, že medzi nimi neexistujú elektrostatické interakcie. Na jadrá atómov a gravitáciu na chvíľu tiež zabudnime, čiže prakticky nám ostal neinteragujúci elektrónový plyn vo vákuu.

Vďaka periodickej okrajovej podmienke vlnovej funkcie sa v kvantovej mechanike dá ukázať, že hybnosť každého elektrónu musí nadobúdať len hodnoty: $$ \vec{p} = \hbar \vec{k} = \frac{2 \pi \hbar}{L} (a, b, c)\text{,} $$ kde čísla $a, b, c$ sú celé čísla. Kvantová mechanika takisto hovorí, že elektrón vlastní spin orientovaný buď nahor $\uparrow$ alebo dole $\downarrow$ a Pauliho vylučovací princíp dodáva, že každý elektrón v plyne sa nachádza v rôznom stave, čiže má svoju výnimočnú kombináciu čísel $a, b, c$ a spinu. Inými slovami, v plyne nenájdeme dva elektróny s rovnakými vektormi hybnosti a zároveň rovnakým spinom!

Úloha 1

Energia voľného elektrónu s hybnosťou $\vec{p}$ je $\epsilon_{\vec{p}} = \dfrac{|\vec{p}|^2}{2m}$, pričom elektróny budú v snahe minimalizovať celkovú energiu plynu postupne obsadzovať stavy s najnižšou energiou. V hybnostnom priestore, ktorého osi tvoria hodnoty zložiek vektora $\vec{k}$, sa takto geometricky vytvorí guľa, v ktorej vnútri sa nachádzajú len obsadené stavy a vonku neobsadené. Aký je polomer $R$ takejto gule?

Útvar obsadených stavov v hybnostnom priestore môže v reálnych situáciach nadobúdať rôzne tvary (guľa je špeciálny prípad neinteragujúceho voľného plynu). Fyzikálna terminológia pre takýto útvar je .

Úloha 2

Vnútro Fermiho gule je v našom prípade obrovský počet diskrétnych bodov. Keďže koncentrácia elektrónov $n$ zvykne byť vysoké číslo (rádovo $\SI[parse-numbers = false]{10^{15}}{\per\cubic\metre}$), možno sieť bodov považovať za kvázispojitú a v rôznych výpočtoch použiť aproximáciu $$ \Big(\frac{2\pi}{L}\Big)^3\sum_{\vec{k}} = \int \text{d}^3\vec{k}\text{.} $$

S touto pomôckou vypočítajte celkovú energiu Fermiho gule $E_F$.

Interagujúci Coulombovský plyn

Vo všeobecnosti si nemôžeme dovoliť zanedbať elektrostatické interakcie, ktorými pôsobí každý elektrón na všetky ostatné. Ak je ich koncentrácia v kove $n$, každému elektrónu vieme priradiť jeho mikroskopický objem $n^{-1}$, ktorý si pre jednoduchosť môžeme predstaviť ako guľu s objemom $\frac{4}{3}\pi r_0^3$. Teda typická vzdialenosť medzi najbližšími elektrónmi je $r_0$. Z rozmerových dôvodov môžeme teda tvrdiť, že typická kinetická energia na jeden elektrón je $$ E_{\mathrm{kin}} = \frac{\hbar^2 k^2}{m} \sim \frac{\hbar^2}{mr_0^2}\text{.} $$

Úloha 3

Zhodnoťte, ako vplýva koncentrácia elektrónov na pomer medzi kinetickou a potenciálnou energiou systému. Približne pri akej hodnote $n_0$ nastáva rovnosť?

Wignerov kryštál

Zahrňme teraz do teórie aj prítomnosť kladne nabitých jadier. Najjednoduchší pohľad na problematiku je taký, že si kladne nabité jadrá nepredstavíme ako sediace na konkrétnych miestach v priestore, ale že je ich náboj rozmazaný na pozadí a elektróny v takomto pozadí plávajú. Pomocou zložitejšej kvantovej mechaniky sa dá ukázať, že pri dostatočne nízkej koncentrácii $n$ prejde systém interagujúceho elektrónového plynu do kryštalického stavu – Wignerovho kryštálu. Elektróny takto zaujali konkrétnu geometriu a kmitajú okolo svojich rovnovážnych polôh. Takúto uväznenosť si vieme predstaviť tak, že elektrón s nábojom $-e$ kmitá v guli s polomerom $r_0$, ktorá je nabitá kladným nábojom pozadia $+e$.

Úloha 4

S akou uhlovou frekvenciou $\omega_0$ kmitá Wignerov elektrón? Keďže elektrón sa nachádza v stabilnom kvantovo-mechanickom stave, energia systému elektrón+guľa je daná ako: $$ E = \frac{3}{2}\hbar \omega_0 - \frac{3e^2}{8\pi\epsilon_0 r_0} + E_g\text{,} $$

kde $ E_g $ je elektrostatická energia kladne nabitej Wignerovej gule.

Úloha 5

Dopočítajte energiu elektrostatickej gule $E_g$ a ukážte, že energia systému sa dá v bezrozmerných jednotkách napísať ako: $$ \frac{E}{\epsilon_B} = \frac{\alpha}{r_s} + \frac{\beta}{r_s^{3/2}}\text{,} $$ kde $\epsilon_B$ je Bohrova energia základného stavu vodíka, $r_s$ je rovný pomeru $r_0/a_B$ a $a_B$ je Bohrov polomer základného stavu vodíka. Nájdite číselné hodnoty bezrozmerných konštánt $\alpha, \beta$.

Úloha 6

Numericky na počítači nakreslite závislosť bezrozmernej energie $E/\epsilon_B$ od bezrozmernej vzdialenosti $r_s$. Pre aký pomer $r_0/a_B$ nastáva minimum? Akej hodnote koncentrácie elektrónov $n^$ to zodpovedá? Aký je pomer $n^/n_0$?

Záverom dodajme, že uvedený model je veľmi jednoduchý a len v hrubých črtách odráža realitu fázového prechodu elektrónového systému. Lokalizácia elektrónového plynu do kryštalickej geometrie fyzikálne interpretujeme ako prechod z kovového stavu (vedúceho prúd) do izolujúceho (nevedúceho prúd). Podľa najmodernejších numerických simulácii je Wignerov kryštál stabilný len pre $r_s > 106$ a jeho vlastnosti sú predmetom otvoreného výskumu.