Úloha 1

Ceruzka sa vždy otáča okolo jednej hrany do momentu, keď narazí bok na rovinu. V tom momente sa začne otáčať okolo novej hrany a iba zložka rýchlosti kolmá na novú rotačnú os sa zachová. Zvyšok kinetickej energie je absorbovaný podložkou. Tesne pred dopadom sa ceruzka otáča okolo prvej hrany a vektor rýchlosti $\vec{v}_0$ ťažiska smeruje do roviny so sklonom $30^\circ$ od smeru rovnobežného s podložkou. Tesne po dopade a absorbovaní sa zachová iba zložka rýchlosti smerujúca nad rovinu pod uhlom $30^\circ$ nad rovnobežným smerom s podložkou. Projekciou rýchlosti $\vec{v}_0$ do nového smeru dostname polovičnú veľkosť rýchlosti $$ v_0 \cos 60^\circ = \frac{1}{2} v_0 \, . $$ Polovičná rýchlosť znamená štvrtinovú kinetickú energiu po odraze.

Po jednom otočení však ceruzka premení potenciálnu energiu na kinetickú. Pri sklone $\alpha$ bude premenená potenciálna energia $$ E_\text{pot} = M g a \sin \alpha \, . $$

Máme teda stredanie dopadu (pokles energie faktorom $\frac{1}{4}$) a rotácie (získanie energie $+M g a \sin \alpha$). Ak sa teda tieto dva faktory majú ostáliť, tak dostaneme, že ustálená energia po dopade $E_\text{stat}$ musí spĺňať $$ E_\text{stat} + M g a \sin \alpha = 4 E_\text{stat} \implies E_\text{stat} = \frac{1}{3} M g a \sin \alpha \, . $$

Táto energia však musí byť dostatočná na prekonanie potenciálnej bariéry, inak sa ceruzka zastaví. Potenciálna bariéra je $$ E_\text{bariéra} = M g \left[a - a \sin \left(60^\circ + \alpha \right) \right] \, . $$ Energia po dopade musí teba byť aspoň takáto, tak dostaneme nerovnosť $$ E_\text{stat} > E_\text{bariéra} \implies \frac{1}{3} \sin \alpha > \left[1 - \cos \left(60^\circ + \alpha \right) \right] \, . $$

Po úprave dostaneme $$ \alpha > 2 \arctan\left( \frac{2}{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \approx 10.2^\circ \, . $$

Úloha 2

Ceruzka sa vždy otáča okolo jednej hrany do momentu, keď narazí bok na stôl. V tom momente sa začne otáčať okolo novej hrany a iba zložka rýchlosti kolmá na novú rotačnú os sa zachová. Zvyšok kinetickej energie je absorbovaný podložkou. Tesne pred dopadom sa ceruzka otáča okolo prvej hrany a vektor rýchlosti $\vec{v}_0$ ťažiska smeruje do stola so sklonom $30^\circ$ od horizontu. Tesne po dopade a absorbovaní sa zachová iba zložka rýchlosti smerujúca nad stôl pod uhlom $30^\circ$ nad horizontom. Projekciou rýchlosti $\vec{v}_0$ do nového smeru dostname polovičnú veľkosť rýchlosti $$ v_0 \cos 60^\circ = \frac{1}{2} v_0 \, . $$ Takže ak prvá rýchlosť bola $v_0$, tak po prvom dopade bude jej rýchlosť $v_1 = \frac{1}{2}v_0$, po druhom dopade $v_2 = \frac{1}{4} v_0$ a po $n$-tom dopade to bude $$ v_n = \frac{1}{2^n} v_0 \, . $$

Toto sa opakuje dovtedy, kým kinetická energia po zrážke už nie je dostatočná na to, aby sa ceruzka prehopla cez bariéru potenciálnej energie.

Celková kinetická energia rotujúcej ceruzky okolo hrany je určená momentom zotrvačnosti $I$ okolo hrany $$ I_\text{hrana} = I_0 + M a^2 = \frac{17}{12} M a^2 $$ a uhlovou rýchlosťou otáčania $\omega$ $$ v_n = a \omega \, . $$ Ak má ceruzka rýchlosť ťažiska okolo hrany $v_n$ , tak je jej kinetická energia $$ E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{17}{24} M v_n^2 \, . $$ Potenciálna bariéra je daná výškovým rozdielom ťažiska na začiatku otáčania a uprostred otáčania $$ E_p = M g \left(a - \frac{\sqrt{3}}{2} a \right) = M g a \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \, . $$ Akonáhle je kinetická energia menšia ako toto, tak sa ceruzka už neprehupne cez bariéru. $$ E_k < E_p \implies \frac{17}{24} M v_n^2 < M g a \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \implies \frac{17}{24 * 2^n} v_0^2 < g a \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $$ Po úprave dostaneme výraz pre $n$ $$ n = \left\lfloor \log_2 \left[ \frac{17}{12 (2-\sqrt{3})} \frac{v^2}{g a} \right] \right\rfloor \, , $$ kde $\lfloor \cdot \rfloor$ znamená funkciu floor, teda zaokrúhlenie nadol (môžeme si to predstaviť tak, že chceme vypočítať koľko odrazov treba na to, aby rýchlosť presne klesla na hranicu bariéry a ak dostaneme 4.5, tak ceruzka vie urobiť 4 odrazy, lebo pri piatom odraze už nemá dosť energie a vráti sa späť).

Nazáaver, aby sme dostali vzdialenosť, kam ceruzka prejde, tak pri každom odraze prejde vzdialenosť $a$, takže konečná dráha ceruzky je $$ d = a n = a \left\lfloor \log_2 \left[ \frac{17}{12 (2-\sqrt{3})} \frac{v^2}{g a} \right] \right\rfloor \, . $$