Po prvom úspechu modelu Marsrobota v 1. letnej sérii FKS 25. ročníka sa tento výrobok dostal už aj do tvrdších testov. Uvažujme robota s nasledovnými vlastnosťami:

• Polomer robota je $R$, jeho celková hmotnosť $M$.
• Závažie je na nehmotnej dĺžky dĺžky $r<R$ a samotné má hmotnosť $m$.
• Telo robota aj s motorčekom je rotačne symetrické okolo stredovej rovnobežnej osi. Moment zotrvačnosti okolo tejto osi je $I_S$ a nezávisí od činnosti motorčeka.
• Robot neprešmykuje.

1. Majme dráhu, ktorá pozostáva z vodorovného úseku dĺžky $l$ a z troch oblúkových častí rôznych polomerov, pričom platí, že $R<R_{1,2,3}$. Robot na začiatku stojí na začiatku rovného úseku. Urč o aký celkový uhol sa robot otočí, kým príde do miesta s maximálnym stúpaním.

2. Spočítajte okamžité uhlové zrýchlenie robota. Vyjadrite ho pomocou týchto veličín: uhlová rýchlosť robota $\omega$, uhol $\alpha$ a jeho uhlová rýchlosť $\Omega$, aktuálne stúpanie $\beta$, lokálny polomer krivosti povrchu $\rho$ a moment sily motorčeka $M_\text{motor}$ vzhľadom na stred robota.

3. Pre hodnoty $R = 1 \, \text{m}$, $r = 0,8 \, \text{m}$, $M = 100 \, \text{kg}$, $m = 10 \, \text{kg}$, $I_S = \frac{1}{2} (M-m) R^2= 45 \, \text{kg.m}^2$, $g = 10 \, \text{m.s}^{-2}$, $l = 4 \, \text{m}$, $R_1 = 5 \, \text{m}$, $R_2 = 25 \, \text{m}$, $R_3 = 15 \, \text{m}$, $\gamma = 8^\circ$, $\delta = 5^\circ$ vyriešte numericky pohyb robota ak viete, že robot na začiatku stál a závažie voľne viselo. V čase po štarte až po dosiahnutie najvyššieho bodu dráhy motor robota pracoval s konštantným momentom $M_\text{motor} = 40 \, \text{N}$. Po dosiahnutí vrcholu dráhy motor prestal pracovať. Ako výstup chceme od vás čas, kedy robot prechádzal koncom dráhy. Určte tiež celkovú prácu, ktorú motorček vykonal. Určte aj rozdiel mechanickej energie na konci a na začiatku.

Poznámka: Táto úloha je náročná. Časti (1) a (2) vám môžu pomôcť – ak si však trúfate, tak ich nemusíte riešiť, stačí mi výsledok (2).

Hinty: Časť (1) si treba poriadne nakresliť, inak nie je ťažká. Časť (2) je najťažšia, treba zúročiť časť (1). Numerické riešenie vám môže pomôcť odhaliť prípadné chyby urobené v časti (2). Zjemňovaním časového kroku simulácie by ste mali dostávať presnejšie riešenia.