Zo zadania je jasné, že hrebeň sa nabil statickou elektrinou pri česaní a že papier je celkovo nábojovo neutrálny. Napriek tomu bol papier priťahovaný ku hrebeňu. To je spôsobené tým, že elektrické pole/náboj vie indukovať dipól v iných materiáloch a interakcia dipólu s nábojom je príťažlivá. Poďme si teda odhadnúť, koľko dipólu je indukovaného a z toho, koľko náboja je na hrebeni.

Než začneme s rátaním, musíme poznamenať, že elektrický náboj statickej elektriny sa notoricky veľmi ťažko meria a človek je rád, ak dostane vôbec správne znamienko. Preto si vystačíme z rádovými odhadmi.

Najprv potrebujeme pochopiť interakciu dipólu s nábojom. Keďže indukovaný dipól je indukovaný v smere elektrického gradientu, nemusíme riešiť 3D orientáciu dipólu. Majme vonkajší kladný náboj $+Q$ a vo vzdialenosti $r$ budeme mať dipól s dipólovým momentom $d$. Ten si vieme predstaviť ako 2 náboje $\pm q$ v malej vzdialenosti $a$ od seba (vtedy $d = q a$). Ak teda máme náboj $+Q$, tak vo vzdialenosti $r-\frac{a}{2}$ bude náboj $-q$ a vo vzdialenosti $r+\frac{a}{2}$ bude náboj $+q$. Potom celková sila pôsobiaca na dipól je $$ F_d = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q (-q)}{\left(r-\frac{a}{2} \right)^2} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q (q)}{\left(r+\frac{a}{2} \right)^2} \, . $$ Ak použijeme predpoklad $a \ll r$ a aproximáciu $(1+x)^n \approx 1 + n x$, tak môžeme písať $$ F_d = - \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q q}{r^2} \frac{1}{\left(1-\frac{a}{2r} \right)^2} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q q}{r^2} \frac{1}{\left(1+\frac{a}{2r} \right)^2} = - \frac{1}{2 \pi \epsilon_0} \frac{Q q a}{r^3} = - \frac{1}{2 \pi \epsilon_0} \frac{Q d}{r^3}\, . $$ Záporné znamienko znamená, že sila je v opačnom smere ako sa meria vzdialenosť $r$, teda ide o príťažlivú silu.

Materiály (nazývajú sa dielektrikum) vo vonkajšom elektrickom poli $\vec{E}$ vytvárajú indukované elektrické dipóly. Na najnižšej úrovni si vieme predstaviť, že atómy sú tvorené kladnou (jadro) a zápornou (elektróny) časťou a každá je v elektrickom poli čiastočne posunutá opačným smerom, čo vytvára dipól. Tento dipól je dokonca (v prvej aproximácii) lineárne závislý od vonkajšieho poľa. Pri silnejších poliach sa prejavujú efekty vyššieho rádu. Polarizácia $\vec{P}$ (čo je objemová hustota indukovaných dipólov) je teda $$ \vec{P} = \epsilon_0 \chi \vec{E} \, , $$ kde $\chi$ je elektrická susceptibilita materiálu. Keďže polarizácia je iba objemová hustota dipólov $d$, tak príťažlivá sila indukovaného dipólu je $$ F_d = \frac{1}{2 \pi \epsilon_0} \frac{Q }{r^3} \epsilon_0 \chi E V \, , $$ kde $V$ je objem dielektrického materiálu. Po dosadení veľkosti elektrického poľa náboja dostaneme $$ F_d = \frac{\chi Q^2 V }{8\pi^2 \epsilon_0 r^5} \, . $$ Táto sila sa vyrovnala gravitačnej sile $F_g$. Ak teda použijeme hustotu papiera $\rho$, tak dostaneme $$ \begin{align*} F_d &= F_g \\ \frac{\chi Q^2 V }{8\pi^2 \epsilon_0 r^5} &= \rho V g \, . \end{align*} $$ Odtiaľ vieme odvodiť náboj $Q$ $$ Q = \sqrt{ \frac{8\pi^2 \epsilon_0 r^5 \rho g}{\chi}} \, . $$ Pre hodnoty $\chi \approx 0.4$, $\rho \approx 10^3 \, \text{kg}/\text{m}^3$ a $r = 0.02 \, \text{m}$ dostaneme náboj $$ Q \approx 2 \cdot 10^{-7} \, \text{C} \, . $$

Odmerať náboj je náročné, ale môžeme to urobiť pomocou Faradayovej nádoby. Ide o kovovú nádobu, ktorá je elektricky izolovaná od okolia. Príklad experimentu:

• Zoberte plechovku a odrežte od nej vrch.
• Nachystajte si kondenzátor so známou kapacitou $C$.
• Pripojte jeden koniec kondenzátora k plechovke a druhý koniec uzemníme.
• Vybite hocijaký zvyškový náboj na kondenzátore alebo na plechovke.
• Vložte do plechovky nabitý hrebeň.
• Zmerajte voltmetrom napätie na kondenzátore $U$ a vypočítajte náboj na kondenzátore $Q = C U$.

Pre náboje veľkosti $10^{-7} \, \text{C}$ a rozumné merateľné napätia $10 \, \text{V}$ dostávame, že musíme použiť kondenzátor o kapacite $10 \, \text{nF}$.