Nájsť riešenie dynamiky tekutín je notoricky veľmi náročný problém riešenia Navierovych–Stokesových rovníc. Hlavným dôvodom sú turbulencie a turbulentné prúdenie. Ak budeme postupne zväčšovať rozmer, tak každé prúdenie nakoniec je turbulentné. Ak je potrubie dostatočne malé alebo je prúdenie dostatočne pomalé, tak pozorujeme laminárne prúdenie, teda prúdenie tekutiny vo vrstvách, ktoré sa navzájom nemiešajú a iba po sebe kĺžu. Vo všeobecnosti režim prúdenia je určený bezrozmernou veličinou menom Reynoldsovo číslo $\mathrm{Re}$, ktoré je definované ako $$ \mathrm{Re} = \frac{\rho u D}{\mu} \, , $$ kde $\rho$ je hustota tekutiny, $u$ je priemerná rýchlosť prúdenia, $D$ je priemer trubice (alebo iný charakteristický rozmer prúdenia) a $\mu$ je viskozita tekutiny. Zhruba, ak je Reynoldsovo číslo menšie ako 2000, tak je prúdenie laminárne. Ak je väčšie ako 4000, tak je prúdenie turbulentné. Medzi hodnotami 2000 a 4000 je prechodný režim, ktorý má prvky laminárneho a turbulentného prúdenia.

Našťastie úloha vyžaduje laminárne prúdenie, čím sa popis prúdenia zjednoduší. Kvôli tvaru trubice je ideálne zvoliť cylindrické súradnice $r$ (rozsah od $0$ do $R$), $\varphi$ (rozsah od $0$ do $2\pi$) a $z$ (rozsah od $0$ do $L$). Na začiatku trubice ($z = 0$) je tlak $p$, na konci trubice ($z = L$) je nulový tlak.¹ Keďže sa prierez trubice nemení, uvažujeme nestlačiteľnú tekutinu a dĺžka trubice je výrazne väčšia ako polomer, tak nás nezaujíma, čo sa deje pri vstupe a výstupe z trubice² a môžeme uvažovať, že prúdenie bude v každom bode rovnobežne s osou $z$. $$ \vec{v} (r, \varphi, z) = v (r, \varphi, z) \vec{e}_z $$ Keďže je problém rotačne symetrický okolo osi $z$, tak veľkosť rýchlosti $v$ nebude závisieť na uhle $\varphi$. Takisto, sa nám nikde v trubici tekutina nestráca, ani nevzniká. Preto rýchlosť nezávisí na súradnici $z$.³ $$ \vec{v} (r, \varphi, z) = v (r) \vec{e}_z $$

Môžeme teda spojiť časti tekutiny s rovnakou rýchlosťou do spoločných vrstiev, ktoré sa pohybujú pokope. Ak si zoberieme tekutinu v $\Delta r$ okolí polomeru $r$ (teda medzivalčie v rozsahu $r-\frac{1}{2}\Delta r$ až $r+\frac{1}{2}\Delta r$), tak na neho pôsobia tri sily:

• tlaková sila na začiatku trubice $p \Delta S = 2 \pi r p \Delta r $,
• trecia sila na vonkajšom povrchu medzivalčia $ \mu \frac{dv}{dr} \left(r +\frac{1}{2}\Delta r \right) S = \mu \frac{dv}{dr} \left(r +\frac{1}{2}\Delta r \right) 2 \pi \left(r +\frac{1}{2}\Delta r \right) L $,
• trecia sila na vnútornom povrchu medzivalčia $ - \mu \frac{dv}{dr} \left(r -\frac{1}{2}\Delta r \right) S = - \mu \frac{dv}{dr} \left(r -\frac{1}{2}\Delta r \right) 2 \pi \left(r -\frac{1}{2}\Delta r \right) L $.

Súčet týchto síl sa musí navzájom vykompenzovať na nulu, keďže tekutina nezrýchľuje, ani nespomaľuje. $$ 0 = 2 \pi r p \Delta r + \mu \frac{dv}{dr} \left(r +\frac{1}{2}\Delta r \right) 2 \pi \left(r +\frac{1}{2}\Delta r \right) L - \mu \frac{dv}{dr} \left(r -\frac{1}{2}\Delta r \right) 2 \pi \left(r -\frac{1}{2}\Delta r \right) L $$

Ak pošleme hrúbku medzivalčia $\Delta r \rightarrow 0$, tak môžeme vzťahy nahradiť ich diferenciálnymi verziami $$ \Delta r \rightarrow dr \, , \quad \frac{dv}{dr} \left(r \pm \frac{1}{2}\Delta r \right) = \frac{dv}{dr} (r) \pm \frac{1}{2} dr \frac{d^2v}{dr^2} (r) $$ Po dosadení dostaneme $$ 0 = \left[ r p + \mu L \left( r \frac{d^2v}{dr^2} + \frac{dv}{dr} \right) \right ] 2 \pi dr \, , $$ z čoho vieme odvodiť diferenciálnu rovnicu $$ p r + \mu L \left( r \frac{d^2v}{dr^2} + \frac{dv}{dr} \right) = 0 \, . $$ Môžeme sa na ňu pozerať ako na rovnice pre premennú $Y(r) = \frac{dv}{dr} (r)$ $$ r \frac{dY}{dr} + Y = - \frac{p}{\mu L} r \, . $$ Môžeme si všimnúť, že ľavá strana rovnice je rozložená derivácia⁴ $$ \frac{d}{dr} \left( r Y \right) = - \frac{p}{\mu L} r \, . $$ Preintegrovaním oboch strán dostaneme $$ r Y (r) = - \frac{p}{2 \mu L} r^2 + C \, , \quad \implies \quad Y (r) = - \frac{p}{2 \mu L} r + \frac{C}{r} \, . $$ Druhou integráciou $Y = \frac{dv}{dr}$ dostaneme funkciu rýchlosti $v(r)$ $$ v(r) = - \frac{p}{4 \mu L} r^2 + C \ln r + D \, . $$ Pre nenulovú hodnotu $C$ dostávame nefyzikálne nekonečnú rýchlosť v strede trubice $r = 0$, preto musíme zvoliť $C = 0$. Ostáva nám iba jediný parameter $D$, ktorý je určený okrajovou podmienkou na okraji trubice. Bez ohľadu na okrajovú podmienku je však rýchlostný profil tekutiny kvadratický s maximálnou rýchlosťou v strede (čo je v súladu s fyzikálnou intuíciou).

Tekutina bez kĺzania

Ak sa tekutina nekĺže na okraji ($r = R$), tak dostaneme nasledujúci kvadratický rýchlostný profil $$ v(R) = 0 \, , \quad \implies \quad v(r) = \frac{p}{4 \mu L} \left(R^2 - r^2 \right) \, . $$ Celkový prietok $Q_0$ tak dostaneme $$ Q_0 = \int_0^R 2 \pi r v(r) dr = \frac{\pi p}{2 \mu L} \left[ \frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4 } \right]_0^R = \frac{\pi p R^4}{8 \mu L}\, . $$ Spätnou kontrolou po dosadení do Reynoldovho čísla dostaneme $$ \mathrm{Re} = \frac{\rho p R^3}{4 \mu^2 L } \, , $$ to znamená, že trubica musí byť dostatočne malá, lebo od určitého polomeru už sa nebude tekutina správať laminárne. Napríklad pre krv vo väčšine žilách a tepnách dostaneme laminárne prúdenie (až na aortu, kde už môžeme pozorovať turbulentné prúdenie). Ak pustíme vodu z kohútika pomaly, tak dostaneme laminárne prúdenie. Ale už pri plnom prúde dostávame turbulentné prúdenie.

Tekutina s kĺzaním

Ak sa tekutina kĺže a má nenulovú rýchlosť na okraji, tak gradient rýchlosti na okraji je $$ \mathrm{grad} v (\mathrm{okraj}) = \frac{dv}{dr} (r = R) = Y(R) = - \frac{p R}{2 \mu L} \, . $$ Môžeme si všimnúť, že gradient na okraji je pre všetky trubice rovnaký bez ohľadu na to, či sa tekutina kĺže alebo nie. Z gradientu vieme zistiť rýchlosť na okraji a presne o túto rýchlosť sa zvýši rýchlostný profil. $$ v(R) = \frac{p b R}{2 \mu L} \, , \quad \implies \quad v(r) = \frac{p}{4 \mu L} \left(R^2 - r^2 \right) + \frac{p b R}{2 \mu L} $$ Pre celkový prietok $Q$ tak dostaneme $$ Q = \int_0^R 2 \pi r v(r) dr = Q_0 + \int_0^R 2 \pi r v(R) dr = Q_0 + \frac{\pi p b R^3}{2 \mu L} = Q_0 \left(1 + \frac{4b}{ R} \right) \, . $$

Tento výsledok sa dá nahliadnuť aj z iného pohľadu. Okrajová podmienka kĺzania tekutiny sa dá interpretovať tak, že trubica má väčší polomer $R$ o hodnotu $b$ a správa sa ako trubica bez kĺzania (keďže ak predĺžime rýchlostný profil pre $r>R$, tak dostaneme nulovú rýchlosť pre približne $r = R+b$). Keďže má tekutina na okraji skoro nulovú rýchlosť, tak skoro vôbec neprispieva ku celkovému prietoku a tak prietok $Q$ môžeme odhadnúť tak, že použijeme vzťah pre $Q_0$, len namiesto $R$ dostadíme $R+b$. $$ Q = \frac{\pi p (R+b)^4}{8 \mu L} = \frac{\pi p R^4}{8 \mu L} \left(1 + \frac{b}{R} \right)^4 \approx \frac{\pi p R^4}{8 \mu L} \left(1 + \frac{4 b}{R} \right) $$