Hľadáme elektrostatické pole v okolí náboja $Q$, ktorý je pri vodivých plochách. Prítomnosťou náboja $Q$ sa vo vodičoch naindukuje tieniaci náboj, a to tak, aby vodivé plochy boli ekvipotenciálnymi hladinami. Totiž ak by na nich nebol všade rovnaký potenciál, náboj vo vodičoch by tiekol až dovtedy, kým by sa potenciál nevyrovnal. My predpokladáme elektrostatiku, takže všetky polia a náboje sú už ustálené.

Máme teda riešiť Poissonovu rovnicu (modulo konštanty)

$$ \triangle \varphi = \rho $$

pre potenciál $\varphi$ v oblasti $x,y,z \geq 0$ s nábojovým rozložením $\rho$ a s okrajovou podmienkou $\varphi|_{\text{okraj}} = 0$. Vďaka linearite má takáto úloha jednoznačné riešenie a na jeho nájdenie môžeme použiť nasledovný trik. Namiesto vodivých plôch si predstavíme fiktívne náboje kdesi mimo pôvodnú oblasť. Novou úlohou je potom zvoliť ich tak, aby sme splnili okrajovú podmienku. Potom takáto konfigurácia nábojov musí byť to správne a jediné riešenie pôvodnej úlohy, pretože vnútri oblasti sme rozloženie náboja nezmenili a na jeho okraji je podmienka splnená. Tento trik sa volá metóda imaginárnych nábojov.

Pre jednu nekonečnú vodivú plochu sa dá ľahko nahliadnuť, že imaginárny náboj bude mať rovnakú veľkosť ale opačné znamienko a treba ho umiestniť ako zrkadlový obraz skutočného náboja. Stačí si napísať ako vyzerá potenciál takejto konfigurácie nábojov a presvedčiť sa, že je nulový na ploche kolmo prechádzajúcej stredom spojnice medzi nábojmi.

V prípade dvoch nekonečných plôch zvierajúcich pravý uhol je situácia podobná. Za každú plochu si musíme predstaviť jeden zrkadlový náboj s opačným znamienkom. Avšak to nie je všetko! Keďže máme obe plochy naraz, naše dva zrkadlové náboje by sa navzájom rušili. Preto treba pridať tretí, ktorý je zrkadlovým obrazom našich dvoch imaginárnych nábojov! Máme teda pôvodný náboj $Q$ v mieste $(x,y)$ a imaginárny náboj $Q$ v mieste $(-x,-y)$ a dva imaginárne náboje $-Q$ v miestach $(-x,y)$ a $(x,-y)$. Opäť sa dá nahliadnuť správnosť riešenia, keď si napíšete potenciál od takejto konfigurácie a pozriete sa, kde je nulový.

Nás však zaujíma prípad troch kolmých nekonečných plôch. Z predošlého už poľahky uhádneme správnu konfiguráciu. Pre $x,y,z \geq 0$ máme náboje $Q$ v miestach

$$ Q:\ (x,y,z),\ (x,-y,-z),\ (-x,y,-z),\ (-x,-y,z), $$

a náboje $-Q$ v miestach

$$ -Q:\ (-x,y,z),\ (x,-y,z),\ (x,y,-z),\ (-x,-y,-z). $$

Kompaktne sa to dá zapísať ako

$$ \text{náboj } (-1)^{i+j+k}Q \text{ na mieste } \left((-1)^i x,\, (-1)^j y,\, (-1)^k z\right) \eqqcolon \mathbf{r}_{ijk}. $$

Potenciál od takejto konfigurácie nábojov vyzerá nasledovne:

$$ \varphi(\mathbf{r})=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i,j,k=0}^{1} \frac{(-1)^{i+j+k}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{ijk}|} = \varphi_0 + \varphi_\mathbf{ind}, $$

a teda sa skladá z príspevku od skutočného náboja $\varphi_0$ (člen s $i=j=k=0$) a príspevku od imaginárnych nábojov, t. j. náboja indukovaného vo vodivých plochách $\varphi_\text{ind}$ (členy s $i+j+k>0$).

Potenciálna energia reálneho náboja $Q$ v mieste $(x,y,z)$ je potom daná vzťahom¹

$$ U = \frac{1}{2} Q \varphi_{\text{ind}}(x,y,z). $$

Plochy a náboj sa priťahujú, takže by mala vyjsť záporná. Po dosadení do vzorca dostávame

$$ U = \frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0} \Bigg( -\frac{1}{x} -\frac{1}{y} -\frac{1}{z} +\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} +\frac{1}{\sqrt{y^2+z^2}} +\frac{1}{\sqrt{x^2+z^2}} -\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \Bigg), $$

čo naozaj dáva záporné hodnoty pre $x,y,z>0$.