Dúfali sme, že vám táto úloha pomôže pri riešení ťažšej úlohy „Jakub mal sen“ z prvej série. Vypožičajme si z Jakubovho vzoráku pohybové rovnice pre planétu v centrálnom poli: vzdialenosť od stredu spĺňa

$$ m \ddot{r} = \frac{A}{r^3} + m r \dot{\phi}^2, $$

zatiaľ čo pohybová rovnica pre uhol hovorí, že sa zachováva moment hybnosti

$$ L = m r^2 \dot{\phi}. $$

Hlavný trik je spomenutý v nápovede, označme teda

$$ u = \frac{1}{r} $$

a pomocou pravidla o derivovaní zloženej funkcie skúsme vyjadriť diferenciálnu rovnicu pre $u(\phi)$. Rýchlo sa to dá spraviť nasledovne:

$$ \frac{dr}{dt} = \frac{dr}{du} \frac{du}{d\phi} \frac{d\phi}{dt} = -\frac{1}{u^2} \frac{du}{d\phi} \frac{L}{m r^2} = -\frac{L}{m} \frac{du}{d\phi}. $$

Druhú deriváciu spočítame podobne:

$$ \frac{d^2 r}{dt^2} = \frac{d\phi}{dt} \frac{d}{d\phi} \left(\frac{dr}{dt}\right) = -\frac{L^2}{m^2 r^2} \frac{d^2 u}{d\phi^2}. $$

Dosadíme do pohybovej rovnice a dostaneme

$$ -\frac{L^2}{m r^2} \frac{d^2 u}{d\phi^2} = \frac{A}{r^3} + m r \frac{L^2}{m^2 r^2}, $$

alebo

$$ \frac{d^2 u}{d\phi^2} = - \left( \frac{mA}{L^2} + 1 \right) u. $$

Výsledok závisí od konštanty $\frac{mA}{L^2} + 1$, konkrétne jej znamienko udá, či sú riešením trigonometrické, hyperbolické alebo lineárne funkcie:

• Ak je táto konštanta kladná, tak preto, lebo $A$ je kladné (odpudivá sila) alebo záporné a blízke nuly (slabá príťažlivá sila v porovnaní s momentom hybnosti). Všeobecné riešenie je vtedy trigonometrická funkcia $$u(\phi)= a \cos\big( s (\phi - \phi_0) \big), \qquad \text{kde } s = \sqrt{\frac{mA}{L^2} + 1}, $$ ktoré je platné pre rozsah uhlov $\phi$ tak, aby bol argument kosínusu medzi $-\pi/2$ a $\pi/2$ (plus $2k\pi$). Nezabudnime, že nás zaujíma veličina $r = 1/u$: planéta teda priletí z nekonečna z nejakého uhla, obletí stred a odletí do nekonečna.

• Ak je $\frac{mA}{L^2} + 1 = 0$, dostávame $$ u(\phi) = a \phi + b, $$ teda špirálový pád do (alebo odlet zo) stredu. Špeciálne pre $a = 0$ dostávame kruhový pohyb.

• Ak je $\frac{mA}{L^2} + 1$ záporné, dostávame $$ u(\phi) = a e^{s\phi} + b e^{-s\phi}, \qquad \text{kde } s = \sqrt{-\left(\frac{mA}{L^2} + 1\right)}. $$ čo sa dá alternatívne vyjadriť pomocou hyperbolických sínusov a kosínusov. Takáto lineárna kombinácia sa vynuluje maximálne raz, dostávame teda buď pohyb „nekonečno–stred“, alebo „stred–stred“.

Tieto trajektórie, vykreslené v radiálnych súradniciach $r(\phi)$, sa nazývajú Cotesove špirály, po Newtonovom kamarátovi Rogerovi Cotesovi.