Označme si hmotnosť hmotného bodu $m$. Potom zložka tiaže tohto hmotného bodu v smere dosky je $F_k=m g \sin \alpha$, trecia sila počas šmýkania hmotného bodu po doske bude $F_d=f_d m g \cos \alpha$ a maximálna trecia sila (ku ktorej dochádza v statickej situácii) je $F_s=f_s m g \cos \alpha$. Nakoľko nás zaujíma hlavne či je $F_k$ menšia alebo väčšia než jednotlivé trecie sily, podelíme si všetky 3 sily $m g \cos \alpha$ a dostávame, že podstatné sú bezrozmerné čísla $f_s,f_d,\tan \alpha$. Pričom vieme, že $f_s>f_d$, ale $\tan \alpha$ môže mať voči nim akúkoľvek veľkosť.

Triviálne prípady

Ak je trecia sila slabá ($\tan \alpha>f_s>f_d$), bod bude zrýchľovať donekonečna. Konkrétne dynamické trenie bude mať vždy veľkosť $F_d$ a pôsobí proti smeru aktuálneho pohybu, čiže jeho zložka v smere dole kopcom bude $F_{d \parallel}\leq F_d$. Tým pádom, výslednica v smere dole kopcom bude $F_\parallel=F_k-F_{d \parallel} \geq F_k-F_d>0$. Popri tom trecia sila v kolmom smere bude vždy hmotný bod v tomto smere brzdiť, akurát zložka trecej sily v kolmom smere bude asymptoticky klesať spolu so zložkou rýchlosti v tomto smere. Každopádne konečná rýchlosť za týchto podmienok je nekonečno smerom dole po rovine.

Ak je naopak trecia sila veľká $f_s>f_d>\tan \alpha$, hmotný bod bude vždy brzdený. Ak by šiel nahor po rovine, tak súčtom $F_k$ a $F_d$, ak nadol, tak len ich rozdielom, ale tak ako tak časom zastaví a statické trenie ho už udrží a jeho konečná rýchlosť je teda nulová.

Veľké statické trenie

Ak $f_s>\tan \alpha>f_d$, tak nastáva otázka: zastaví sa hmotný bod niekedy počas svojho pohybu? Pretože ak nie, tak sa samozrejme zošmykne až dole, môžeme použiť tú istú argumentáciu ako v minulej sekcii. Lenže ak sa hmotný bod kedykoľvek počas svojho pohybu zastaví, už sa vďaka statickému treniu znova nerozbehne a jeho konečná rýchlosť bude 0.

Ak by sme brali, že rozbehnúť hmotný bod rýchlosťou $v_0=0$ je konzistentné so zadaním, tak vtedy sa bod nikdy nerozbehne a konečná rýchlosť bude nulová. Ak bod rozbehneme presne nahor ($\phi=0$), tak v hornom bode svojej trajektórie zastaví a zostane stáť. Naopak, ak bod rozbehneme viac nadol, než nahor ($\phi>\pi/2$), zložka rýchlosti dole kopcom nikdy nebude klesať a teda konečná rýchlosť bude určite nekonečná.

Čo ale, ak bod rozbehneme pod uhlom $\phi \in (0,\pi/2)$? Jedna možnosť je riešiť diferenciálne rovnice, nájsť nejaké “prúdnice” v priestore rýchlostí, po ktorých sa pohybuje vektor rýchlosti a hľadať, ktoré prechádzajú rýchlosťou $[0,0]$ (niekomu je možno intuitívne aj bez riešenia, že taká prúdnica bude práve jedna a síce tá pre $\phi=0$). Druhá možnosť je použiť nasledovnú úvahu: jediné nie bezrozmerné parametre sú $g$ a $v_0$. Od počiatočnej rýchlosti teda bude závisieť len to, do akej výšky sa bod dostane a za aký čas sa otočí, ale z $g$ nemám ako určiť nejakú kritickú rýchlosť. Čiže to, či bod zastaví alebo nie, závisí len od počiatočného uhlu (a nie veľkosti rýchlosti). Tak keď odštartujem bod pod uhlom $\phi_1$ a po čase $t$ ide pod iným uhlom $\phi_2$, tak si vlastne viem predstaviť, že “teraz začínam” a teda ten aktuálny uhol $\phi_2$ dopadne rovnako ako ten počiatočný $\phi_1$. Zostáva si uvedomiť, že pre všetky $\phi>0$ bude tento uhol s časom iba rásť (smer hmotného bodu sa bude od smeru nahor odkláňať), pretože trecia sila ide proti smeru (čiže by uhol nemenila), ale $F_k$ znižuje iba zložku v smere nahor. Tým pádom bez ohľadu na to, pod akým uhlom a akou rýchlosťou začneme (ak teda budú jedno aj druhé nenulové), rýchlosť bude klesať a uhol bude rásť, dokým sa uhol nepreklopí cez $\pi/2$, potom rýchlosť bude zas rásť, ako sme si popisovali predtým.

Zhrnutie: ak $f_s>\tan \alpha>f_d$, potom pre $v_0=0$ alebo $\phi=0$ bude konečná rýchlosť hmotného bodu nulová, inak bude nekonečná v smere nadol po rovine.

Akurátne dynamické trenie

V prípade, že dynamické trenie a sklon roviny budú vo vzťahu $\tan \alpha=f_d$, tak veľkosť trecej sily bude rovnaká ako $F_k$ čiže v asymptote, keď bod pôjde rovno dole doskou, sa presne vyrušia a bod pôjde nejakou konečnou a nenulovou rýchlosťou, poďme ju teda spočítať.

Označme si uhol, ktorý zviera smer hmotného bodu so smerom dole po doske ako $\beta$ (čiže na začiatku $\beta=\pi-\phi$). Potom sily $F_d$ a $F_k$ zvierajú uhol $\pi-\beta$. Keďže majú tieto dve sily rovnakú veľkosť, ich výslednica pôjde po ose ich uhla, čiže so smerom dole po rovine bude zvierať $\pi/2-\beta/2$ a so smerom hmotného bodu bude tým pádom zvierať uhol $(\pi/2-\beta/2)+\beta=\pi/2+\beta/2$.

Za krátky čas $dt$ sa rýchlosť zmení o vektor veľkosti $a dt$ v tomto smere, čo sa prejaví na zmene uhla aj zmene veľkosti rýchlosti. Konkrétne si môžeme zmenu rýchlosti rozložiť na zložku v smere rýchlosti $-a dt \sin \beta/2$, ktorá bude zodpovedná za zmenu veľkosti, a v smere kolom na rýchlosť $a dt \cos \beta/2$ zodpovednú za zmenu smeru $$ dv= -a dt \sin \beta/2, d\beta=-a dt \frac{\cos \beta/2}{v} \,, $$ môžeme z oboch vzťahov vyjadriť $a dt$, čím dostaneme diferenciálnu rovnicu pre veľkosť a smer rýchlosti $$ \frac{dv}{\sin \beta/2} = \frac{d\beta v}{\cos \beta/2} \,, $$ ktorú vyriešime metódou separácie $$ \int_{v_0} ^{v_f} \frac{dv}{v} = \int_{\pi - \phi} ^{0} \tan \frac{\beta}{2} d\beta \,, $$ kde pod $v_f$ myslíme výslednú rýchlosť, keď bod pôjde smerom dole po doske. Zintegrovaním dostávame $$ \ln \frac{v_f}{v_0} = 2 \ln \cos \frac{\pi-\phi}{2} \rightarrow v_f=v_0 \sin^2 \frac{\phi}{2}\,, $$ kde sme využili, že logaritmus je primitívna funkcia a že $\cos^2$ a $\sin^2$ sú voči sebe posunuté o $\pi/2$.

Z predzádzajúcej časti už vieme, že tento výsledok platí pre všetky uhly okrem prípadu $\phi=0$, kedy sa bod zastaví v hornom bode svojej trajektórie, lenže keď do nášho výsledku dosadíme $\phi=0$, vidíme, že aj pre tento uhol dáva správny výsledok.

Alternatívne riešenie

Ak si zadefinujeme v rovine dosky súradnice $x$ (horizontálny smer) a $y$ (po doske smerom nahor), tak vieme zo síl napísať diferenciálne rovnice pre vektor rýchlosti $(v_x, v_y)$. $$ \begin{align} \frac{1}{g} \dot v_x &= - f_d \frac{v_x}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}} \\ \frac{1}{g} \dot v_y &= - f_d \frac{v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}} - \tan \alpha \end{align} $$ Pravá strana určuje vektorové pole v priestore rýchlosti $(v_x, v_y)$ a vektor rýchlosti nasleduje trajektóriu podľa tohto poľa. Ak je toto vektorové pole interpretovateľné ako gradient nejakého potenciálu, tak nám to uľahčí uvažovanie o pohybe vektorového poľa. Keďže rotácia tohto poľa je nulová, tak sa dá nájsť potenciál poľa $\Phi(v_x, v_y)$ $$ \Phi(v_x, v_y) = f_d \sqrt{v_x^2 + v_y^2} + \tan \alpha v_y $$ a pohybová rovnica sa dá zjednodušiť na $$ \frac{d}{dt} \vec{ v} = - g \nabla \Phi \, . $$

Tvar potenciálu sa dá ľahko predstaviť. Prvá časť ($\sqrt{v_x^2 + v_y^2}$) tvorí kužeľ s minimom v bode $(0,0)$. Druhá časť ($v_y$) je rovina naklonená v ypsilonovom smere.

V závislosti od parametrov $f_d$ a $\tan \alpha$ vieme rozlíšiť tri možnosti:

• Pre $f_d > \tan \alpha$, je súčet oboch častí kladný potenciál pre všetky smery s minimom nula v bode $(0,0)$. Teda, bez ohľadu na to s akou rýchlosťou $\vec{v_0}$ začneme, gradient nás vždy privedie do minima, teda nulovej rýchlosti.
• Pre $f_d < \tan \alpha$, súčet oboch častí tvorí potenciál bez minima. Potenciál v smere $v_y \rightarrow - \infty$ ide do mínus nekonečna. Ak začneme na kladnej osi y $(0, v_y>0)$, tak nás gradient privedie do bodu $(0,0)$, kde sa bod zastaví. Ak však začneme hocikde inde, tak gradient pôsobí vždy preč od kladnej ypsilonovej osi. Znamená to, že uhol medzi kladnou osou y a vektorom rýchlosti sa bude vždy zväčšovať. Zároveň musíme klesať dole po potenciáli. Preto všetky ostantné rýchlosti budú pokračovať do nekonečna a konečná rýchlosť bude nekonečná.
• Pre $f_d = \tan \alpha$, máme špeciálny prípad. Súčet oboch častí tvorí kladný potenciál s minimami (hodnoty nula) pozdĺž negatívnej osi y $(0,v_y<0)$. Konečná rýchlosť teda môže byť hocijaká z týchto hodnôt. Aká je konečná rýchlosť, závisí od počiatočnej rýchlosti.

Na nájdenie konečnej rýchlosti pre tretí prípad môžeme použiť metódu \textbf{hľadania invariantu}. Pre $f_d = \tan \alpha$ sa pohybová rovnica zjednoduší na tvar $$ \begin{align} \frac{1}{f_d g} \dot v_x &= - \frac{v_x}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}} \\ \frac{1}{f_d g} \dot v_y &= - \frac{v_y}{\sqrt{v_x^2 + v_y^2}} - 1 \, . \end{align} $$ Ak prejdeme k polárnym súradniciam $v, \phi$, tak dostaneme $$ \begin{align} \frac{1}{f_d g} \dot v &= - (1 + \cos \phi) \\ \frac{1}{f_d g} \dot \phi &= - \frac{1}{v} \sin \phi \, . \end{align} $$ Pre x-ovú a y-ovú zložku vieme zároveň písať $$ \begin{align} \frac{1}{f_d g} \dot v_x &= - \sin \phi \\ \frac{1}{f_d g} \dot v_y &= - \cos \phi - 1 \, . \end{align} $$ Môžeme si všimnúť, že ak vytvoríme novú premennú $K := v - v_y$, tak tá sa počas pohybu nemení. $$ \dot K = \dot v - \dot v_y = 0 \, . $$ Vytvorili sme teda invariant (konštantu pohybu). Táto hodnota musí byť rovnaká na začiatku a aj na konci. Ak teda začíname s rýchlosťou $v_0$ pod uhlom $\phi$, tak invariant $K$ je $$ K = v_0 (1 - \cos \phi) = 2 v_0 \sin^2 \frac{\phi}{2} \, . $$ Na konci skončíme s rýchlosťou $(0,-v_{y,\infty}<0)$. Pre tento stav je invariant $K$ $$ K = 2 v_{y,\infty} \, . $$ Na základe toho vieme teda, že konečná rýchlosť bude $$ v_{y,\infty} = v_0 \sin^2 \frac{\phi}{2} \, . $$