Pri riešení tejto úlohy si precvičíme veľké množstvo nástrojov (Eulerove-Lagrangeove rovnice, efektívny potenciál, Taylorov rozvoj, Fourierov rozvoj). Niektoré môžu byť pre vás nové, ale ak si tieto nástroje osvojíte a pridáte si ich do svojho “vercajku”, budú vám užitočné pri iných úlohách.

Začíname s planétou s počiatočnou polohou $\vec{r}_0$ a počiatočnou rýchlosťou $\vec{v}_0$. Keďže potenciál $V(r)$ závisí iba od vzdialenosti, gravitačná sila zodpovedajúca tomuto potenciálu je v smere negatívneho gradientu $-\vec \nabla V$, čo znamená vždy v radiálnom smere $\vec{r}_0$. Keďže na planétu pôsobí sila vždy iba v radiálnom smere, tak celý pohyb planéty prebieha iba v rovine určenej vektormi $\vec{r}_0$ a $\vec{v}_0$. Preto postačí úlohu riešiť iba v 2 rozmeroch. Dokonca to znamená, že výsledok tejto úlohy neplatí len pre gravitačné zákony v troch rozmeroch, ale platí aj pre viacrozmerné priestory.

Keďže je úloha radiálne symetrická, ideálne je ju popísať v polárnych súradniciach $r$ a $\phi$. Pre popis Newtonových zákonov v týchto súradniciach máme 2 možnosti:

• začneme s popisom v karteziánskych súradniciach $x$ a $y$ a následne transformujeme diferenciálne rovnice pri zmene súradníc,
• použijeme lagrangián $L$ vo všeobecných súradniciach a aplikujeme Eulerove-Lagrangeove rovnice, aby sme dostali pohybové rovnice.

Lagrangián $L(r,\phi, \dot r, \dot \phi,t)$ vo všeobecnosti závisí od zovšeobecnených súradníc (v našom prípade polomer $r$ a uhol $\phi$), ich časových derivácií (“rýchlosti”) a času $t$. Pre hmotný bod je definovaný ako rozdiel kinetickej energie $T$ a potenciálu $V$ $$ L(r,\phi, \dot r, \dot \phi,t) = T - V = \frac{1}{2} m \dot r^2 + \frac{1}{2} m r^2 \dot \phi^2 - V(r) \, . $$

Pohybové rovnice (Eulerove-Lagrangeove rovnice) sú potom pre všetky zovšeobecnené súradnice $q$ v tvare $$ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot q} \right) = \frac{\partial L}{\partial q} \, . $$

Pre polárne súradnice $r$ a $\phi$ dostaneme tieto pohybové rovnice $$ m \ddot r = m r \dot \phi^2 - V’(r) \, , \quad \quad \frac{d}{dt} \left( m r^2 \dot \phi \right) = 0 \, . $$

Druhá rovnica je zákon zachovania momentu hybnosti v polárnych súradniciach. Môžeme teda napísať, že výraz v zátvorke (moment hybnosti) je konštanta $L$ (nazýva sa aj konštanta pohybu). $$ m r^2 \dot \phi = L \quad \implies \quad \dot \phi = \frac{L}{m r^2} \, . $$

Prvá rovnica nám poskytne pohybovú rovnicu v radiálnom smere

$$ m \ddot r = \frac{L^2}{m r^3} - V’(r) \, . $$

Dokázali sme teda niekoľko-rozmernú úlohu zredukovať na problém v jednom rozmere. Táto jednorozmerná pohybová rovnica sa dá interpretovať ako pohyb hmotného bodu o hmotnosti $m$ v súradnici $r$ v poli sily $F(r):= \frac{L^2}{m r^3} - V’(r)$. Preintegrovaním sily dostaneme efektívny potenciál $W(r)$

$$ W(r) := -\int F(r) dr = V(r) + \frac{L^2}{2 m r^2} \, . $$

Tvar efektívneho potenciálu $W(r)$ určuje povahu pohybu planéty okolo Slnka. Môže obsahovať údolia (konvexné časti funkcie), v ktorých sa planéta môže zaseknúť a bude oscilovať tam a späť. Môže zároveň obsahovať pokles potenciálu do nekonečna/do stredu a planéta opustí Slnečnú sústavu alebo padne do Slnka. Vidíme však, že pokiaľ nepôjde potenciál $V(r)$ asymptoticky do mínus nekonečna pre $r = 0$, tak planéta nemôže padnúť do Slnka, lebo bude vždy odvrátená “odstredivým potenciálom” $\sim \frac{1}{r^2}$.

Skúsime najprv preskúmať kruhové dráhy a skoro kruhové dráhy. Zvoľme si dráhu s polomerom $r_0$. Aby bola kruhová, jej polomer sa nesmie meniť a dostaneme teda podmienku

$$ m \ddot r = 0 \quad \implies \quad \frac{L^2}{m r_0^3} = V’(r_0) \, . $$

To zodpovedá vyrovnaniu gravitačnej sily $V’$ a odstredivej sily $\frac{L^2}{m r_0^3} = \frac{m v_0^2}{r_0}$. Zároveň táto rovnica zodpovedá nulovej derivácii efektívneho potenciálu $W(r)$ $$ W’(r_0) = - F(r_0) = - \frac{L^2}{m r_0^3} - V’(r_0) = 0 \, . $$

Kruhové dráhy sú teda v potenciáli $W$ miesta s nulovou deriváciou. Ak je to lokálne minimum (funkcia $W$ je v tomto bode konvexná), tak si vieme predstaviť v tomto bode malé kmity. Toto bude zodpovedať skoro kruhovým dráham. Ak však ide o lokálne maximum (funkcia $W$ je v tomto bode konkávna), tak je to nestabilná pozícia a malá výchylka hociktorým smerom pošle planétu “dole” potenciálom. Pre úplnosť ešte môže ísť o inflexný bod. Vtedy je to takisto nestabilná pozícia a malá výchylka pošle planétu “dole” potenciálom.

Predpokladajme, že môžeme nájsť skoro kruhovú dráhu v okolí kruhovej dráhy $r_0$. Tak pre malé vychýlenia $\delta r$ môžeme písať $$ r = r_0 + \delta r \quad \implies \quad m \ddot r = \frac{L^2}{m r^3} - V’(r) = \frac{L^2}{m r_0^3} - \frac{3 L^2}{m r_0^4} \delta r - V’(r_0) - V’‘(r_0) \delta r + O(\delta r) $$

$$ m \ddot { \delta r } = - \left( \frac{3 L^2}{m r_0^4} + V’‘(r_0) \right) \delta r + O(\delta r) \, . $$

Ak máme veľmi malé kmity, všetky vyššie rády v $O(\delta r)$ môžeme zanedbať a dostaneme rovnicu pre harmonické kmity. Uhlová frekvencia týchto kmitov $\Omega$ je

$$ \Omega = \sqrt{ \frac{3 L^2}{m^2 r_0^4} + \frac{V’‘(r_0)}{m}} \, . $$

Zatiaľ čo planéta osciluje v radiálnom smere s uhlovou frekvenciou $\Omega$, tak sa otáča okolo Slnka s uhlovou frekvenciou $\omega = \dot \phi = \frac{L}{m r_0^2}$. Ak by platilo $\Omega = \omega$, tak pri jednej rotácii okolo Slnka sa dokončí jeden kmit a planéta sa dostane do toho istého bodu, čím dostaneme periodickú dráhu. Rovnako, ak by platilo $\Omega = 2 \omega$, tak za jednu rotáciu okolo Slnka urobí planéta 2 kmity a dostane sa do toho istého bodu. A podobne, ak by platilo $2 \Omega = \omega$, tak po 2 rotáciách okolo Slnka urobí planéta jeden kmit a dostane sa do toho istého bodu. Vo všeobecnosti, ak platí $m \Omega = n \omega$ pre nejaké prirodzené čísla $m$ a $n$, tak dosiahneme periodicitu pre skoro kruhové dráhy. Preto pre nejaké racionálne číslo $z := \frac{n}{m}$ môžeme písať $$ \begin{align*} \Omega &= z \omega \\ \frac{3 L^2}{m^2 r_0^4} + \frac{V’‘(r_0)}{m} &= z^2 \frac{L^2}{m^2 r_0^4} \, . \end{align*} $$

Skoro však pozorujeme, že parameter $z$ pre dráhy okolo $r_0$ musí byť rovnaká konštanta pre všetky polomery $r$. Ak by pre polomer $r_0-\delta$ mali skoro kruhové dráhy parameter $z_1$ a pre polomer $r_0+\delta$ mali skoro kruhové dráhy parameter $z_2$, tak by sme vedeli zvoliť také malé kmity, ktoré by zasahovali do oblasti oboch polomerov. A pre takú dráhu by neexistoval jednoznačný parameter $z$, jedine v prípade, že parameter $z$ je konštantný pre všetky polomery $r$. Môžeme teda všeobecne písať pre všetky polomery $r$ $$ \frac{\left( 3 - z^2\right) L^2}{m r^4} = - V’‘(r) \, , $$ Dosadením vzťahu pre $L = \sqrt{m r^3 V’(r)}$ dostaneme diferenciálnu rovnicu $$ \frac{\left( 3 - z^2\right)}{ r} = - \frac{V’‘}{V’} \quad \implies \quad - \ln V’ = (3-z^2) \ln r + C \quad \implies \quad V’(r) = A r^{z^2-3} \quad \implies \quad V(r) = B r^{z^2-2} + D\, . $$ Dostali sme teda, že rodina všetkých možných riešení sa výrazne zúžila na funkcie mocninového rádu $V \sim r^n$, kde exponent $n > -2$ priamo určuje periodicitu dráh cez parameter $z$.

Zatiaľ sme preskúmali kruhové a skoro kruhové dráhy. Čo sa však stane pre všeobecné dráhy? Budú existovať periodické dráhy pre všetky všetky hodnoty $n > -2$ alebo iba pre niektoré hodnoty (foreshadowing)? Predtým, ako niečo analyticky odvodíme, je veľmi užitočné sa pozrieť na numerické simulácie, aby sme dostali predstavu o probléme. Ak si urobíme simuláciu planéty pre hocijaký potenciál mocninového rádu, tak zistíme, že pre všeobecné dráhy väčšinou nedostaneme periodické dráhy. V grafe vidíme pomer uhla obehu po jednom kmite v radiálnom smere medzi všeobecnou dráhou (s nejakou počiatočnou výchylkou) a dráhou malých kmitov. Ak by bol parameter $z$ rovnaký pre všetky dráhy, tak tento pomer musí byť 1. Numericky pozorujeme, že pre povolené hodnoty ($n >-2$) je pomer nemenný iba pre hodnoty $n= -1$ a $n = 2$. Znamená to, že naše zužovanie podmienok na potenciál $V$ sa ešte neskončilo.

Nájsť analytické riešenie všeobecnej dráhy pre hocijakú hodnotu $n$ je nemožné.¹ Nájsť analytické riešenie konkrétnej nekruhovej dráhy pre hocijakú hodnotu $n$ bude podobne náročné. Preto si budeme musieť pomôcť so skoro kruhovými dráhami, ale budeme musieť vypočítať nelineárne korekcie ku skoro kruhovým dráham, aby sme zachovali periodicitu. Štandardne sa tento nástroj nazýva poruchová teória (anglicky \textit{perturbation theory}), ale nie je to nič iné, ako “rozklad problému do Taylorovho rozvoja”. Na vyššej úrovni sa dá hlavná myšlienka zhrnúť takto: Nech $X$ je celé všeobecné riešenie, tak to sa dá potom rozvinúť v nejakom parametri $\varepsilon$ ako $$ X = X_0 + \varepsilon X_1 + \varepsilon^2 X_2 + \varepsilon^3 X_3 + \dots \, , $$ kde $X_0$ je presne známe základné riešenie (hlavný príspevok), $X_1$ je lineárna korekcia (korekcia do 1. rádu) ku základnému riešeniu a $X_2$, $X_3$ atď. sú nelineárne vyššie korekcie (korekcie 2. rádu, 3. rádu atď.). Táto myšlienka sa dá aplikovať vo veľa rôznorodých problémov. Typický príklad je výpočet kmitov reálneho kyvadla. $X_0$ zodpovedá riešeniu, keď je kyvadlo v stabilnej polohe $\phi(t) = \phi_0$. $X_1$ zodpovedá riešeniu lineárnych kmitov okolo stabilnej polohy $\phi(t) = \phi_0 + A \sin(\omega t + \varphi_0)$, kde parameter $A$ je amplitúda a zároveň hrá rolu parametera $\varepsilon$, v ktorom robíme rozvoj poruchovej teórie. Ak chceme vedieť periódu nelineárnych kmitov do 2. rádu, tak budeme riešiť rovnicu kmitov a hľadať riešenie $\phi(t) = \phi_0 + A \sin(\omega t + \varphi_0) + A^2 f(t)$, kde budeme hľadať korekciu 2. rádu $f(t)$. Rovnaký postup môžeme zvoliť v našom prípade.

Najprv však skúsime preformulovať náš problém. Nebudeme sa pozerať na pohyb planéty ako na časovú funkciu polomeru $r(t)$, ale ako na uhlovú funkciu $r(\phi)$. $$ \begin{align*} \frac{d \phi}{d t} &= \frac{L}{m r^2} \\ \frac{d^2 \phi}{d t^2} &= -\frac{2L}{m r^3} \frac{dr}{dt} = -\frac{2L}{m r^3} \frac{dr}{d \phi}\frac{d \phi}{dt} = -\frac{2 L^2}{m^2 r^5} \frac{dr}{d \phi} \\ \frac{d^2 r}{ dt^2} &= \frac{d \phi}{ dt} \frac{d }{ d\phi} \left( \frac{d \phi}{ dt} \frac{d r}{ d\phi} \right) = \frac{d^2 r}{d \phi^2} \left(\frac{d \phi}{d t}\right)^2 + \frac{dr}{d \phi} \frac{d^2 \phi}{d t^2} \\ &= \frac{d^2 r}{d \phi^2} \frac{L^2}{m^2 r^4} - \left( \frac{dr}{d \phi} \right)^2 \frac{2 L^2}{m^2 r^5} \end{align*} $$

Dosadením do pohybovej rovnice dostaneme $$ \frac{d^2 r}{d \phi^2} \frac{L^2}{m r^4} - \left( \frac{dr}{d \phi} \right)^2 \frac{2 L^2}{m r^5} = \frac{L^2}{m r^3} - A r^{z^2-3} \, , $$ Po preznačení a preškálovaní máme nelineárnu diferenciálnu rovnicu $$ r’’ - 2 r’^2 \frac{1}{r} = r - \frac{A m }{L^2 } r^{1+z^2} \, , $$

Pri radiálnom pohybe hmotného bodu často pomôže substitúcia v tvare $u = \frac{\alpha}{r}$. $$ r = \alpha \frac{1}{u} \, , \quad r’ = - \alpha \frac{u’}{u^2} \, , \quad r’’ = - \alpha \frac{u’‘}{u^2} + 2 \alpha \frac{u’^2}{u^3} \, . $$ Dostaneme $$ u’’ = \frac{A m \alpha^{z^2} }{L^2 } u^{1-z^2} - u \, . \tag{1} $$

Vhodným zvolením konštanty $\alpha$ vieme vždy zvoliť $ \frac{A m \alpha^{z^2} }{L^2 } = 1$ a rovnica sa zjednoduší na

$$ u’’ = u^{1-z^2} - u \, . \tag{2} $$

Vo všeobecnosti, nájsť analytické riešenie pre nelineárnu diferenciálnu rovnicu je otázka šťastia a sme odkázaní iba na numerické riešenia. My však nemusíme hľadať všetky riešenia, postačí nám preskúmať niektoré riešenia. Z numerických experimentov vidíme, že aj keď začneme so skoro kruhovými dráhami, tak vyššie korekcie spôsobia, že dráhy nie sú periodické. Skúsme to preskúmať analyticky.

Majme skoro kruhovú dráhu. Vtedy uhol otočenia planéty sa s časom mení ako $\phi(t) = \omega t$. Vzdialenosť planéty sa riadi frekvenciou kmitov a s časom sa mení ako $r(t) = f \left( \Omega t \right)$, kde funkcia $f$ je nejaká periodická funkcia s periódou $2\pi$. Keďže uhlová frekvencia $\omega$ je previazaná s frekvenciou kmitov $\Omega$ cez vzťah $\Omega = z \omega$, tak môžeme pre dráhy planéty písať $r(\phi) = f\left( z \phi \right)$. Keď prejdeme k novej premennej $u(\phi)$, tak je periodická vlastnosť funkcie zachovaná a platí, že $u(\phi) = g(z \phi)$, kde $g(\cdot) = \frac{c}{f(\cdot)}$ je znova nejaká periodická funkcia s periódou $2\pi$.

Ak je však funkcia $u(\phi)$ periodická, vieme napísať pre ňu tvar v podobe Fourierového radu. Môžeme si zvoliť tvar používajúci komplexné exponenciály $e^{i j z \phi}$, $$ u(\phi) = \sum_{j=-\infty}^{+\infty} A_i e^{i j z \phi} \, , $$ kde $A_i$ sú vo všeobecnosti komplexné čísla. Alebo rovnako ekvivalentne môžeme použiť rad s funkciami sínus a kosínus $$ u(\phi) = c_0 + \sum_{j=1}^{+\infty} a_j \cos(j z \phi)+ \sum_{j=1}^{+\infty} b_j \sin(j z \phi) \, , $$ kde $c_0$, $a_j$ a $b_j$ sú reálne čísla. Oba zápisy sú ekvivalentné a môžeme medzi nimi prechádzať podľa potreby. Keď použijeme vzťahy na prechod od exponenciál ku kosínusu a sínusu $$ \cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \, , \quad \sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \, , $$ tak vieme odvodiť prevodové vzťahy medzi koeficientami $$ c_0 = A_0 \, , \quad a_j = A_j +A_{-j} \, , \quad b_j = i \left( A_j -A_{-j} \right) \, , $$ $$ A_0 = c_0 \, , \quad A_j = \frac{1}{2} \left( a_j - i b_j \right) \, , \quad A_{-j} = \frac{1}{2} \left( a_j + i b_j \right) \, , $$ Keďže koeficienty $c_0$, $a_j$ a $b_j$ sú reálne čísla, tak priamo dostaneme obmedzenie na komplexné čísla $A_j = A_{-j}^*$.

Keďže spôsob merania uhla $\phi$ je arbitrárny, môžeme ho zvoliť tak, aby polpriamka $\phi = 0$ prechádzala najvzdialenejším/najbližším bodom dráhy planéty. Znamená to, že funkcia $u(\phi)$ musí byť párna funkcia, $u(+\phi) = +u(-\phi)$, lebo obeh v kladnom smere $+\phi$ bude zrkadlovo nasledovať obeh v zápornom smere $-\phi$. To však znamená, že všetky koeficienty $b_j$ pre nepárne funkcie v rade (sínusy) sú nulové a funkcia sa zjednoduší na tvar $$ u(\phi) = c_0 + \sum_{j=1}^{+\infty} a_j \cos(j z \phi) \, . $$ Prevodové vzťahy sa zjednodušia na $$ c_0 = A_0 \, , \quad a_j = 2 A_j \, , \quad b_j = 0 \, , $$ $$ A_0 = c_0 \, , \quad A_j = \frac{1}{2} a_j \, , \quad A_{-j} = \frac{1}{2} a_j \, , $$

Keď sme si nachystali rovnicu, ktorú budeme riešiť, (rovnica (2)) a tvar riešenia, môžeme sa postupne pozrieť na tri kroky poruchovej teórie. Preskúmajme tri druhy dráh:

• kruhové dráhy (základné riešenie bez poruchy),
• skoro kruhové dráhy (lineárne kmity - riešenie s lineárnym príspevkom),
• všeobecnejšie kruhové dráhy (nelineárne kmity - riešenie s korekciami vyšších rádov).

Kruhové dráhy

Keď máme kruhové dráhy, tak platí $u (\phi) = u_0$. Dosadením do rovnice (2) dostaneme $$ 0 = u_0^{1-z^2} - u_0 \, . $$ Pre $z \neq 1$ a pozitívne hodnoty $u_0$ máme iba jedno riešenie $u_0 = 1$. Rovnako pre $z=1$ dostaneme iba jedno riešenie $u_0 = 1$. Môžeme teda povedať, že pôvodná vzdialenosť $r_0$ je pomocou parametra $c$ vždy preškálovaná v priestore $u$ na hodnotu $1$. Toto je naše základné riešenie bez poruchy.

Skoro kruhové dráhy (lineárne kmity)

V lineárnom režime zanedbávame všetky členy vyššie ako lineárne. Ak dosadíme do rovnice (2) tvar $u(\phi) = 1 + \delta u (\phi)$ a zanedbáme všetky členy väčšie ako $\delta u$, tak dostaneme $$ \begin{align*} \delta u’’ &= \left( 1 + \delta u \right)^{1-z^2} - \left( 1 + \delta u \right) \\ &= \left( 1 + (1-z^2) \delta u \right) - \left( 1 + \delta u \right) \\ &= -z^2 \delta u \, . \end{align*} $$ Tým dostaneme rovnicu kmitov s riešením v tvare $u(\phi) = 1 + a_1 \cos (z \phi)$, kde $a_1$ je malé číslo. Parameter $a_1$ hrá rolu parametra, v ktorom budeme robiť rozvoj. Zmenou hodnoty $a_1$ môžeme prechádzať medzi jednotlivými dráhami. Pre $a_1 = 0$ dostaneme späť popis kruhových dráh (základné riešenie).

Všeobecnejšie kruhové dráhy (nelineárne kmity)

Ak povolíme vyššie ako lineárne členy, dostaneme popis nelineárnych kmitov, čo nám pomôže s popisom všeobecnejších dráh. Začneme so všeobecným tvarom $u(\phi)$ $$ u(\phi) = \sum_{j=-\infty}^{+\infty} A_j e^{i j z \phi} \, , $$

Tak ako pri lineárnych kmitoch, dostaneme celú rodinu funkcií medzi ktorými môžeme prechádzať zmenou jedného parametra (zvyčajne je to amplitúda alebo podobný parameter). Aby sme potom mohli dostať popis, ktorý bude konzistentný so skoro kruhovými dráhami, tak si za tento parameter zvolíme $A_1$. Jedna hodnota $A_1$ by mala jednoznačne určiť konkrétnu dráhu a keď pošleme parameter $A_1$ medzi malé hodnoty, mali by sme dostať popis lineárnych kmitov. Musí teda platiť, že ak zvolíme $A_1 \ll 1$, tak musíme dostať $$ A_0 \rightarrow 1 \, , \quad \quad A_{1} = A_{-1} = \frac{a_1}{2} \, , \quad A_{2,3,4,\dots} \rightarrow 0 \, \quad A_{-2,-3,-4,\dots} \rightarrow 0 \, , $$ aby sme dostali konzistentné riešenie s lineárnymi kmitmi.

Aby sme lepšie vedeli rozlíšiť veľkosť jednotlivých koeficientov, zadefinujeme si nové $$ A_0 = 1 + A’_0 \, , \quad A_1 = A’_1 \, , \quad A_2 = A’_2 \dots \, , $$ a funkciu $u(\phi)$ vieme zapísať ako $$ u(\phi) = 1 + \sum_{j=-\infty}^{+\infty} A’_j e^{i j z \phi} \, . $$

Vieme, že pokiaľ ide o rády, tak musí platiť $$ 1 \gg A’_1 \gg A’_0, A’_2, A’_3, \dots $$

Zatiaľ nevieme, aký je vzťah medzi koeficientami $A’_0$, $A’_2$, $A’_3$, $\dots$ pokiaľ ide o rády.

Pravá strana rovnice (2) je jednoduchá, keďže postačí aplikovať druhú deriváciu na každý člen radu a dostaneme $$ u’‘(\phi) = - \sum_{j=-\infty}^{+\infty} j^2 z^2 A’_j e^{i j z \phi} \, . $$

Pre ľavú stranu je potrebné aplikovať Taylorov rozvoj funkcie $(1+x)^\alpha$ $$ (1+x)^\alpha = \sum_{i = 0}^{+\infty} \begin{pmatrix} \alpha \\ i \end{pmatrix} x^i = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha-1)}{2} x^2 + \frac{\alpha (\alpha-1)(\alpha-2)}{6} x^3 + \dots \, . $$

Dosadením všetkých vzťahov dostaneme $$ \begin{align*} - \sum_{j=-\infty}^{+\infty} j^2 z^2 A’_j e^{i j z \phi} = &- \sum_{j=-\infty}^{+\infty} A’_j e^{i j z \phi} + (1-z^2) \sum_{j=-\infty}^{+\infty} A’_j e^{i j z \phi} + \\ &+ \frac{(1-z^2)(-z^2)}{2} \sum_{j=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} A’_j A’_k e^{i (j+k) z \phi} + \\ &+ \frac{(1-z^2)(-z^2)(-1-z^2)}{6} \sum_{j=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\sum_{l=-\infty}^{+\infty} A’_j A’_k A’_l e^{i (j+k+l) z \phi} + \dots \, . \end{align*} $$

Na prvý pohľad to vyzerá ako veľmi komplikovaná rovnica a nikam sme sa neposunuli. Ale v tejto rovnici sa skrýva nekonečné množstvo rovníc, keďže $ e^{i j z \phi}$ sú si navzájom nezávislé. Vybraním koeficientov pred jednotlivými funkciami $ e^{i j z \phi}$ dostaneme vzájomné rovnice pre koeficienty.

Pre $e^{i 0 z \phi} = 1$, dostaneme rovnicu

$$ 0 = - A’_0 + (1-z^2) A’_0 + \frac{(1-z^2)(-z^2)}{2} \begin{pmatrix} \dots \\ + A’_{-2} A’_{2} \\ + \mathbf{A’_{-1} A’_{1}} \\ + A’_{0} A’_{0} \\ + \mathbf{A’_{1} A’_{-1}} \\ + A’_{2} A’_{-2} \\ \dots \end{pmatrix} + \frac{(1-z^2)(-z^2)(-1-z^2)}{6} \begin{pmatrix} \dots \\ + A’_{-1} A’_{0} A’_{1} \\ + A’_{-1} A’_{1} A’_{0} \\ + \dots + \\ + A’_{0} A’_{-1} A’_{1} \\ + A’_{0} A’_{0} A’_{0} \\ + A’_{0} A’_{1} A’_{-1} \\ + \dots + \\ + A’_{1} A’_{-1} A’_{0} \\ + A’_{1} A’_{0} A’_{1} \\ \dots \end{pmatrix} + \dots $$ Keď porovnáme jednotlivé členy a ich rády, tak veľmi skoro zistíme, že väčšina členov sa dá zanedbať, keďže v rovnici existuje člen nižšieho rádu. Iba zvýraznené členy v stĺpcoch sú dostatočného rádu, aby neboli zanedbané. Rovnica sa zjednoduší na

$$ 0 = - A’_0 + (1-z^2) A’_0 + (1-z^2)(-z^2) A_{1}^{‘2} \, \quad \implies \quad A’_0 = - (1-z^2) A_1^{‘2} \, . \tag{3} $$ Vieme teda, že koeficient $A’_0 \sim A_{1}^{‘2}$ rastie kvadraticky voči parametru $A’_1$.

Pre $e^{i z \phi}$, dostaneme rovnicu

$$ - A’_1 z^2 = - A’_1 + (1-z^2) A’_1 + \frac{(1-z^2)(-z^2)}{2} \begin{pmatrix} \dots \\ + A’_{-2} A’_{3} \\ + \mathbf{A’_{-1} A’_{2}} \\ + \mathbf{A’_{0} A’_{1}} \\ + \mathbf{A’_{1} A’_{0}} \\ + \mathbf{A’_{2} A’_{-1}} \\ + A’_{3} A’_{-2} \\ \dots \end{pmatrix} + \frac{(1-z^2)(-z^2)(-1-z^2)}{6} \begin{pmatrix} \dots \\ + A’_{-1} A’_{0} A’_{2} \\ + \mathbf{A’_{-1} A’_{1} A’_{1}} \\ + A’_{-1} A’_{2} A’_{0} \\ + \dots + \\ + A’_{0} A’_{-1} A’_{2} \\ + A’_{0} A’_{0} A’_{1} \\ + A’_{0} A’_{1} A’_{0} \\ + A’_{0} A’_{2} A’_{-1} \\ + \dots + \\ + A’_{1} A’_{-2} A’_{2} \\ + \mathbf{A’_{1} A’_{-1} A’_{1}} \\ + A’_{1} A’_{0} A’_{0} \\ + \mathbf{A’_{1} A’_{1} A’_{-1}} \\ + A’_{1} A’_{2} A’_{-2} \\ \dots \end{pmatrix} + \dots $$ Podobne ako predtým, väčšina členov sa dá zanedbať, keďže v rovnici existuje člen nižšieho rádu. Ponechaním zvýraznených členov dostaneme

$$ 0 = (1-z^2)(-z^2) A’_1 (A’_0 + A’_2) + \frac{(1-z^2)(-z^2)(-1-z^2)}{2} A_{1}^{‘3} \, . \tag{4} $$

Pre $e^{2 i z \phi}$, dostaneme rovnicu

$$ - 4 A’_2 z^2 = - A’_2 + (1-z^2) A’_2 + \frac{(1-z^2)(-z^2)}{2} \begin{pmatrix} \dots \\ + A’_{-1} A’_{3} \\ + A’_{0} A’_{2} \\ + \mathbf{A’_{1} A’_{1}} \\ + A’_{2} A’_{0} \\ + A’_{3} A’_{-1} \\ \dots \end{pmatrix} + \frac{(1-z^2)(-z^2)(-1-z^2)}{6} \begin{pmatrix} \dots \\ + A’_{-1} A’_{0} A’_{3} \\ + A’_{-1} A’_{1} A’_{2} \\ + A’_{-1} A’_{2} A’_{1} \\ + A’_{-1} A’_{3} A’_{0} \\ + \dots + \\ + A’_{0} A’_{-1} A’_{3} \\ + A’_{0} A’_{0} A’_{2} \\ + A’_{0} A’_{1} A’_{1} \\ + A’_{0} A’_{2} A’_{0} \\ + A’_{0} A’_{3} A’_{-1} \\ + \dots + \\ + A’_{1} A’_{-1} A’_{2} \\ + A’_{1} A’_{0} A’_{1} \\ + A’_{1} A’_{1} A’_{0} \\ + A’_{1} A’_{2} A’_{-1} \\ \dots \end{pmatrix} + \dots $$ Prekvapivo, zo všetkých členov v rozvoji zostane iba jeden výrazný člen a nakoniec dostaneme $$ - 3 A’_2 z^2 = \frac{(1-z^2)(-z^2)}{2} A_{1}^{‘2} \, \quad \implies \quad A’_2 = \frac{1}{6} (1-z^2) A_{1}^{‘2} \, . \tag{5} $$

Vieme teda, že koeficient $A’_2 \sim A_{1}^{‘2}$ rastie kvadraticky voči parametru $A’_1$.

Pre $e^{3 i z \phi}$, dostaneme rovnicu

$$ - 9 A’_3 z^2 = - A’_3 + (1-z^2) A’_3 + \frac{(1-z^2)(-z^2)}{2} \begin{pmatrix} \dots \\ + A’_{0} A’_{3} \\ + \mathbf{A’_{1} A’_{2}} \\ + \mathbf{A’_{2} A’_{1}} \\ + A’_{3} A’_{0} \\ \dots \end{pmatrix} + \frac{(1-z^2)(-z^2)(-1-z^2)}{6} \begin{pmatrix} \dots \\ + A’_{0} A’_{0} A’_{3} \\ + A’_{0} A’_{1} A’_{2} \\ + A’_{0} A’_{2} A’_{1} \\ + A’_{0} A’_{3} A’_{0} \\ + \dots + \\ + A’_{1} A’_{0} A’_{2} \\ + \mathbf{A’_{1} A’_{1} A’_{1}} \\ + A’_{1} A’_{2} A’_{0} \\ + \dots + \\ + A’_{2} A’_{-1} A’_{2} \\ + A’_{2} A’_{0} A’_{1} \\ + A’_{2} A’_{1} A’_{0} \\ + A’_{2} A’_{2} A’_{-1} \\ \dots \end{pmatrix} + \dots $$

Nakoniec dostaneme $$ - 8 A’_3 z^2 = (1-z^2)(-z^2) A’_1 A’_2 + \frac{(1-z^2)(-z^2)(-1-z^2)}{6} A_{1}^{‘3} \tag{5} $$ Po dosadení vzťahu pre $A’_2$ dostaneme $$ A’_3 = - \frac{(1-z^2) z^2}{24} A_{1}^{‘3} \, , $$ a zistíme, že koeficient $A’_3 \sim A_{1}^{‘3}$ rastie kubicky voči parametru $A’_1$.

Podobným postupom by sme ukázali, že vyššie koeficienty $A’_4$, $A’_5$, $\dots$ rastú s vyššími rádmi.

Vidíme teda, že ak budeme amplitúdu kmitov zmenšovať $ 1 \gg A’_1$, tak všetky členy $A’_0$, $A’_2$, $A’_3$, $\dots$ zaniknú.

Ostala nám však jedna rovnica (rovnica (4)), ktorú sme nepoužili. Po dosadení dostaneme

$$ 0 = \frac{1}{3} (1-z^2) z^2 (4 - z^2) A_{1}^{‘3} \, . $$ Znamená to, že aby boli nelineárne kmity periodické, tak potenciál musí spĺňať túto prísnu podmienku. Keďže $z$ môžeme vždy zvoliť nezáporné, tak dostaneme iba 3 možné riešenia: $z = 0$, $z = 1$ a $z = 2$.

Takýto limitovaný zoznam možností už vieme preskúmať jednotlivo.

Prípad $z = 0$

Rovnica (1) sa zjednoduší na tvar $$ u’’ = \left( \frac{A m }{L^2 } - 1 \right) u \, . $$ Ak je konštanta $a = \frac{A m }{L^2 } - 1$ v zátvorke záporná $a<0$, tak dostaneme rovnicu kmitov a riešenie je súčet sínusu a kosínusu $$ u(\phi) = u_0 \cos(\sqrt{a} \phi) + A \sin(\sqrt{a} \phi) \, . $$ Skôr alebo neskôr planéta prejde do bodu $u = 0$, teda odletí do nekonečna.

Ak je konštanta $a$ kladná $a>0$, tak dostaneme rovnicu nestabilných kmitov a riešenie je súčet hypersínusu a hyperkosínusu (súčet dvoch exponenciál) $$ u(\phi) = u_0 \cosh(\sqrt{a} \phi) + A \sinh(\sqrt{a} \phi) \, . $$ Planéta buď odletí do nekonečna ($u = 0$) alebo padne do Slnka ($u = +\infty$).

Ak je konštanta $a$ nulová $a=0$, tak riešením sú lineárne funkcie $$ u(\phi) = u_0 + A \phi \, . $$ Tieto riešenia však nie sú periodické, jedine pre $a=0$ kruhové dráhy. Ostatné dráhy buď letia do nekonečna alebo končia v nule. Žiadne dráhy nie sú stabilné. Keď chceme pochopiť, čo sa deje v skutočnom priestore, pozrieme sa na zodpovedajúci efektívny potenciál $$ W_{z=0} (r) = \left(B + \frac{L^2}{2m} \right) \frac{1}{r^2} + D \, . $$

Vidíme, že:

• buď je potenciál odpudivý ($B + \frac{L^2}{2m} > 0$) a dráhy sa rozletia do nekonečna,
• alebo je potenciál príťažlivý ($B + \frac{L^2}{2m} < 0$) a dráhy končia v Slnku,
• alebo je potenciál konštantný ($B + \frac{L^2}{2m} = 0$) a dráhy sú kruhové dráhy.

Posledný prípad nastáva iba pre vhodne zvolený moment hybnosti $L$ a neplatí pre všetky orbity. Preto prípad $z = 0$ nespĺňa podmienku zo zadania.

Prípad $z = 1$

Rovnica (2) sa znova zjednoduší a dostávame $$ u’’ = 1 - u = - (u-1) \, . $$ Všetky riešenia sú harmonické kmity s posunutým rovnovážnym bodom o 1 $$ u(\phi) = 1 + a_0 \cos(\phi - \phi_0) \, . $$ Použitím transformácie medzi $u$ a $r$ nájdeme $$ r(\phi) = \frac{L^2}{A m} \frac{1}{1 + a_0 \cos(\phi - \phi_0)} \, . $$ Toto riešenie presne zodpovedá riešeniu pre pohyb planéty okolo Slnka v klasickej gravitácii $$ r(\phi) = \frac{p}{1 + \varepsilon \cos(\phi - \phi_0)} \, , $$ kde $\varepsilon$ je excentricita dráhy a $p = \frac{L^2}{m^2 G M}$ je parameter určujúci veľkosť dráhy. Čisto technicky pre $\varepsilon \ge 1$ dostávame parabolu a hyperbolu a planéta nebude vykonávať periodický pohyb, ale z geometrie dráhy je jasné, že ide o periodickú funkciu v parametri $\phi$.

Potvrdili sme, že pre klasickú gravitáciu dostaneme periodické dráhy. Existuje ešte nejaké ďalšie riešenie?

Prípad $z = 2$

V tomto prípade dostaneme komplikovanú rovnicu $$ u’’ = u^{-3} - u \, . $$ Ak sa však pozrieme na tvar funkcie potenciálu $V(r)$ $$ V(r) = B r^2 + D $$ tak si môžeme všimnúť, že ide o potenciál dvojrozmerného harmonického potenciálu $$ V(r) = V(x,y) = B \left(x^2 + y^2 \right) + D \, . $$ Keďže je konštanta pružnosti rovnaká v oboch smeroch, uhlová frekvencia kmitov $\omega$ je v oboch smeroch rovnaká $$ \omega = \sqrt{\frac{2B}{m}} \, . $$

V každom smere sú to 2 nezávislé kmity $$ x (t) = x_0 \cos( \omega t + \phi_{x,0}) \, , \quad y(t) = y_0 \cos( \omega t + \phi_{y,0}) \, . $$ Kombináciou týchto pohybov dostaneme elipsu (keďže ide o preškálovanú projekciu kruhu). Jediný rozdiel je ten, že Slnko sa nenachádza v ohnisku elipsy, ale v strede elipsy. Elipsa je v polárnych súradniciach popísaná rovnicou $$ r(\phi) = \frac{b}{\sqrt{1 - \varepsilon^2 \cos(\phi - \phi_0)^2}} \, , $$ kde $b$ je dĺžka vedľajšej polosi, $\varepsilon$ je excentricita elipsy a $\phi_0$ je uhol natočenia hlavnej osi. Ak chceme zistiť, ako toto riešenie vyzerá v súradnici $u$, musíme prísť na hodnotu momentu hybnosti $L$, aby sme vedeli vhodne zvoliť parameter $\alpha$. Planéta má nejakú celkovú energiu. V smere hlavnej osi zastaví vo vzdialenosti $a$ a preto energia v tomto móde je $B a^2$. V smere vedľajšej osi zastaví vo vzdialenosti $b$ a energia v druhom móde je $B b^2$. Preto celková energia planéty je $E = B (a^2 + b^2)$. Ak má planéta celkovú energiu $E$, tak v efektívnom potenciáli $W(r)$ $$ W(r) = B r^2 + \frac{L^2}{2 m r^2} \, , $$ bude táto energia zodpovedať dvom polomerom, kedy sa polomer zastaví. Menší bude zodpovedať vedľajšej polosi $b$ a väčší bude zodpovedať veľkej polosi $a$. Dostaneme teda $$ a^2 = \frac{E + \sqrt{E^2 - 2 \frac{B L^2}{m} }}{2B} \, , \quad b^2 = \frac{E - \sqrt{E^2 - 2 \frac{B L^2}{m} }}{2B} \, . $$ Z týchto rovníc vieme vyjadriť moment hybnosti $L$ a dostaneme $$ L^2 = 2 a^2 b^2 B m \, . $$ V takom prípade je škálovací parameter $\alpha$ rovný $$ \alpha = \left( \frac{2 L^2 }{B m} \right)^{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{2} b}{\left(1 - \varepsilon^2 \right)^{\frac{1}{4}} } $$ a riešenie v súradnici $u$ vyzerá ako $$ u(\phi) = \frac{\sqrt{2}}{\left(1 - \varepsilon^2 \right)^{\frac{1}{4}} } \sqrt{1 - \varepsilon^2 \cos(\phi - \phi_0)^2} \, . $$ Dosadením do rovnice (2) vieme overiť, že je to riešenie.

Výsledok úlohy je celkom prekvapivý. Sú iba 2 druhy potenciálov (klasická gravitácia $\sim \frac{1}{r}$ a viacrozmerný harmonický oscilátor $\sim r^2$), ktoré vedú na periodické orbity. Tento výsledok sa volá Bertrandova veta.

Poznámky ku riešeniu: Úloha sa dá riešiť aj iba v súradnici $r$ a netreba prechádzať do priestoru súradnice $u$. Túto substitúciu sme použili iba preto, aby sme si zjednodušili tvar diferenciálnej rovnice. Rovnako sa dalo hľadať riešenie v tvare súčtu sínusov a kosínusov bez použitia Fourierového radu. Tento postup sme zvolili pre jednoduchosť. Takisto musíme povedať, že použivanie myšlienky poruchovej teórie vie byť frustrujúce, keďže v nejakom momente sa rovnice veľmi rozkošatia a je náročné sa v nich zorientovať. Treba však dôverovať procesu a nakoniec sa rovnice zjednodušia (nakoniec sme dostali rovnice (3), (4), (5) a (6)). Záujemcovia si môžu tento postup vyskúšať na jednoduchšej úlohe (napr. reálne kyvadlo) a nájsť korekciu periódy kmitov.

Nad rámec tejto úlohy sa môžeme pýtať, prečo je to takto. Na základnej úrovni sme ukázali, že medzi mocninou v potenciáli $n$ a parametrom $z$ musí byť vzťah $n = z^2-2$ (pre skoro kruhové dráhy). Ak pôjdeme o úroveň nižšie, tak sme zistili, že pre všeobecné dráhy to platí iba pre 2 hodnoty $n \in \left\{ -1, 2 \right\}$. Ak pôjdeme zas o ešte jednu úroveň nižšie, tak je to kvôli tomu, že tieto dva systémy sú maximálne superintegrabilné.

Vysvetliť to je nad rámec strednej školy, ale môžeme ponúknuť približnú logiku a nadhľad, prečo to tak je. V klasickej mechanike sme si všimli, že keď sa v nejakom systéme pohybuje hmotný bod pozdĺž trajektórie, tak sa niekedy niektoré veličiny nemenia. Tieto premenné sa nazývajú konštanty pohybu alebo aj integrály pohybu. Typickým príkladom je celková energia $E$, hybnosť $\vec{p}$ alebo moment hybnosti $\vec{L}$. Neskôr Emma Noether došla na to, že existencia týchto konštánt nie je len tak náhodná. Ak existuje v systéme nejaký druh symetrie, tak každej z nich zodpovedá nejaký zákon zachovania nejakej veličiny - konštanty pohybu. Ak pohybové rovnice nezávisia na čase (symetria systému v čase), tak tomu zodpovedá zákon zachovania celkovej energie $E$. Ak sa pohybové rovnice nemenia pri posune v priestore (symetria systému pri translácii), tak tomu zodpovedá zákon zachovania hybnosti $\vec{p}$. Ak sa pohybové rovnice nemenia pri otočení v priestore (symetria systému pri rotácii), tak tomu zodpovedá zákon zachovania momentu hybnosti $\vec{L}$. Ešte neskôr vďaka príspevku viacerých fyzikov a matematikov sme zistili, že celkový počet konštánt pohybu súvisí s usporiadaním systému. V skratke, ak má systém $N$ stupňov voľnosti (počet parametrov, aby sme vedeli jednoznačne určiť polohu) a $k$ konštánt pohybu, tak systémy vieme rozdeliť na:

• neintegrovateľné ($k < N$): Aj keď počiatočné podmienky jednoznačne určujú trajektóriu pohybu, tak tieto systémy sú často chaotické (citlivé na počiatočné podmienky) a ich trajektórie nie sú zvyčajne uzavreté (teda ani periodické). Typickým príkladom neintegrovateľného systému je dvojité matematické kyvadlo (kyvadlo zavesené na kyvadle). To má $N = 2$ stupne voľnosti (2 počiatočné uhly kyvadiel), ale iba jednu konštantu pohybu ($k = 1$) - celkovú energiu $E$. Kyvadlo sa správa chaoticky a je veľmi citlivé na počiatočné podmienky. Ďalší príklad: pohyb troch telies vo vzájomnom gravitačnom poli.
• integrovateľné ($k = N$): Počiatočné podmienky jednoznačne určujú trajektóriu pohybu a aj konštanty pohybu pozdĺž tejto trajektórie, trajektórie už nie sú chaotické, sú stabilné, ale uzavretosť trajektórie nie je zaručená (typická vlastnosť je precesia). Príklad: pohyb telesa vo všeobecnom centrálnom poli.
• superintegrovateľné ($k > N$): Väčší počet konštánt pohybu výraznejšie obmedzuje možné trajektórie, tie sú stabilné a často periodické. Príklad: anizotropický viacrozmerný harmonický oscilátor.
• maximálne superintegrovateľné ($k = 2N-1$): Maximálny počet konštánt pohybu bol dosiahnutý, trajektórie sú uzavreté, periodické, často analyticky riešiteľné a nemôžu byť chaotické. Príklady: izotropický viacrozmerný harmonický oscilátor, Calogerov–Moserov–Sutherlandov model, Smorodinskyho–Winternitzov model, Pöschlov–Tellerov potenciál (v kvantovej fyzike), Morseho potenciál (v kvantovej fyzike), Scarfov potenciál (v kvantovej fyzike).

V našom prípade máme pohyb bodu v radiálnom potenciáli. Ukázali sme, že o tomto probléme môžeme uvažovať ako o dvojrozmernom probléme a teda má prakticky 2 stupne voľnosti (počiatočné súradnice $x$ a $y$, alebo počiatočná vzdialenosť $r$ a uhol natočenia $\phi$). Pre tento systém sa nemenia pohybové rovnice v čase (zákon zachovania energie $E$) a pri rotácii (zákon zachovania momentu hybnosti $\vec{L}$), čo nám dáva práve 2 nezávislé konštanty pohybu ($k = 2$). To znamená, že vo všeobecnosti je tento systém integrovateľný. Trajektórie sú stabilné a vidíme u nich precesiu. To platí až na 2 špeciálne prípady:

• Keď je potenciál klasický gravitačný potenciál $V = - \frac{K}{r}$, tak existuje tretia konštanta pohybu - Laplacov-Rungeov-Lenzov vektor $\vec{A} = \vec{p} \times \vec{L} - m K \frac{\vec{r}}{r}$, ktorá sa v 2D verzii zjednoduší na jedno číslo. Vtedy je počet konštánt $k = 3$ väčší ako počet $N = 2$ stupňov voľnosti. Systém je maximálne superintegrabilný a preto sú trajektórie periodické.
• Keď je potenciál klasický oscilátor $V = \frac{1}{2} K r^2$, tak existuje tretia konštanta pohybu - Fradkinov tenzor $F_{ij} = \frac{1}{2m} p_i p_j + \frac{1}{2} K x_i x_j $, ktorý dodá tretiu konštantu pohybu, systém bude maximálne superintegrabilný a trajektórie periodické.

Takže na najnižšej úrovni vieme povedať, že iba keď má systém s radiálnym potenciálom nejakú symetriu naviac (pre $n \in \left\{ -1, 2 \right\}$), tak budú jeho trajektórie periodické.