V kvantovej fyzike je stav elektrónu úplne popísaný vlnovou funkciou $\Psi(\vec{r})$, čo je komplexná funkcia závislá na polohe elektrónu v priestore $\vec{r}$. Druhá mocnina absolútnej hodnoty $|\Psi(\vec{r})|^2 = \rho(\vec{r})$ má fyzikálny význam hustoty pravdepodobnosti výskytu elektrónu v polohe $\vec{r}$. Preto, ak preintegrujeme hustotu pravdepodobnosti cez celý priestor, tak dostaneme celkovú pravdepodobnosť výskytu elektrónu niekde vo svete, čo je práve 1.
$$ \int_{\mathrm{R}^3} |\Psi(\vec{r})|^2 \, d \vec{r} = 1 \qquad{(1)}$$
Ak máme elektrón v nejakom systéme, tak sa môže nachádzať v ľubovoľnom stave $\Psi(\vec{r})$ (jediná podmienka je rovnica 1). Avšak iba niektoré stavy sú statické (stabilné) – volajú sa vlastné stavy $\phi_i(\vec{r})$. Vlastné stavy majú zopár vlastností:
Vlastné stavy sú označené číslom $i$ (tzv. kvantové číslo) alebo skupinou kvantových čísel.
Vlastné stavy sú na seba kolmé vo význame integrálu cez celý priestor (všimnite si, že v prípade $i = j$ dostaneme rovnicu 1). $$ \int_{\mathrm{R}^3} \phi^*_i(\vec{r}) \phi_j(\vec{r}) \, d \vec{r} = \begin{cases} 1 & \mathrm{pre} \,, i = j \\ 0 & \mathrm{pre} \,, i \neq j \end{cases} \qquad{(2)}$$
Ľubovoľný stav $\Psi(\vec{r})$ sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia všetkých vlastných stavov $$ \Psi(\vec{r}) = \sum_{\forall i} c_i \phi_i(\vec{r}) \, . \qquad{(3)}$$
Ak sa elektrón nachádza v stave $\Psi(\vec{r})$, ktorý nie je vlastný a elektrón pozorujeme, tak nastane takzvaný kolaps vlnovej funkcie – elektrón zmení svoj stav na jeden z vlastných stavov $\phi_i(\vec{r})$ s pravdepodobnosťou $|c_i|^2$.
Atóm trícia $^3_1\mathrm{H}$ je v základnom stave (vlastný stav s najnižšou energiou) atómu vodíka ($n = 1, l = 0, m = 0$). Znudené jadro podstúpi $\beta$-rozpad a zmení sa na jadro hélia $^3_2\mathrm{He}$. Prekvapený elektrón už viac nie je vo vlastnom stave nového jadra a preto keď ho pozorujeme, tak si elektrón musí vybrať, do ktorého z vlastných stavov nového jadra skolabuje.
Aká je pravdepodobnosť, že elektrón skolabuje do základného stavu nového jadra $\phi_{100}(\vec{r})$?
Aká je pravdepodobnosť, že elektrón skolabuje do iného väzobného vlastného stavu nového jadra $\phi_{nlm}(\vec{r})$?
Aká je pravdepodobnosť, že elektrón ionizuje (skolabuje do nejakého z vlastných stavov opúšťajúc jadro)?
Nápoveda: V jadre s nábojom $Z$ sú vlastné (väzobné) stavy popísané v sférických súradniciach ako
$$ \phi_{nlm} (r, \theta, \varphi) = R_{nl} (r) Y_{lm} (\theta, \varphi) \, , $$
$$ R_{nl} (r) = \sqrt{\left( \frac{2Z}{n } \right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!} } e^{-\frac{Z r}{n}} \left( \frac{2 Z r}{n} \right)^l L_{n-l-1}^{(2l+1)} \left( \frac{2 Z r}{ n } \right) \, , $$
$$ Y_{lm} (\theta, \varphi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{(2l+1)}{4 \pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l (\cos \theta) e^{i m \varphi} \, , $$
kde $L_{n-l-1}^{(2l+1)}$ je zovšeobecnený Laguerrov polynóm
$$ L_n^{(\alpha)} (x) = \frac{x^{-\alpha} e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x} x^{n+\alpha} \right) , $$
a $P^m_l$ je pridružený Legendrov polynóm
$$ P_l^m (x) = \frac{(-1)^m}{2^l l!} (1-x^2)^{\frac{m}{2}} \frac{d^{(l+m)}}{dx^{(l+m)}} \left( x^2-1 \right)^l . $$
Možné hodnoty kvantových čísel sú $n \in \left\{ 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, +\infty \right\}$, $l \in \left\{0,\, 1,\, 2,\, \dots ,\, n-2,\, n-1 \right\}$, $m \in \left\{-l,\, -l+1,\,-l+2,\, \dots,\, l-1,\, l \right\}$.
Aby sme získali lineárny koeficient $c_i$ pre konkrétny vlastný stav $\phi_i(\vec{r})$, tak rovnicu (2.3.3) zo zadania prenásobime $\phi^*_i(\vec{r})$ a preintegrujeme cez celý priestor.
$$ \int_{\mathrm{R}^3} \phi^*_i(\vec{r}) \Psi(\vec{r}) \, \mathrm{d} \vec{r} = \int_{\mathrm{R}^3} \phi^*_i(\vec{r}) \left( \sum_{\forall j} c_j \phi_j(\vec{r}) \right) \, \mathrm{d} \vec{r} $$
Následne vyberieme sumu pred integrál a použijeme rovnicu (2.3.2) zo zadania. $$ \int_{\mathrm{R}^3} \phi^*_i(\vec{r}) \Psi(\vec{r}) \, \mathrm{d} \vec{r} = \sum_{\forall j} c_j \int_{\mathrm{R}^3} \phi^*_i(\vec{r}) \phi_j(\vec{r}) \, \mathrm{d} \vec{r} = \sum_{\forall j} c_j \delta_{ij} = c_i $$
Použitím tejto rovnice vieme vypočítať všetky lineárne koeficienty a pravdepodobnosti.
Aj keď všeobecná funkcia pre stavy vyzerá veľmi zložito, pre základny stav má jednoduchý tvar. Pre pôvodný stav elektrónu ($Z = 1$, $n = 1$, $l = 0$ a $m = 0$) dostaneme $$ \Psi(\vec{r}) = \phi^{Z = 1}_{1,0,0} (r, \theta, \varphi) = \frac{1}{\sqrt{\pi} } e^{-r} \, . $$
Pre základný stav nového jadra ($Z = 2$, $n = 1$, $l = 0$ a $m = 0$) máme $$ \phi^{Z = 2}_{1,0,0} (r, \theta, \varphi) = \sqrt{\frac{8}{\pi }} e^{-2 r} \, . $$
Potom lineárny koeficient $c_{100}$ sa dá vypočítať ako $$\begin{aligned} c_{100} &= \int_{\mathrm{R}^3} \phi^*_{100}(\vec{r}) \Psi(\vec{r}) \, \mathrm{d} \vec{r} = \int_0^{+\infty} \int_{0}^{\pi} \int_0^{2 \pi} \sqrt{\frac{8}{\pi }} e^{-2 r} \frac{1}{\sqrt{\pi} } e^{-r} r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \\ & \stackrel{\heartsuit}{=} \frac{2 \sqrt{2} }{\pi} \int_0^{+\infty} r^2 e^{-3r} \, \mathrm{d}r \int_{0}^{\pi} \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \int_0^{2 \pi} \, \mathrm{d}\varphi \\ &\stackrel{\diamondsuit}{=} \frac{2 \sqrt{2} }{\pi} \left[ e^{-3r} \left(- \frac{1}{3} r^2 - \frac{2}{9} r - \frac{2}{27} \right) \right]_0^{+\infty} \left[ - \cos \theta \right]_{0}^{\pi} \left[ \varphi \right] _0^{2 \pi} \\ &\stackrel{\clubsuit}{=} \frac{16 \sqrt{2}}{27} \, , \end{aligned}$$ kde sme rozdelili integrál na tri integrály podľa jednotlivých súradníc ($\heartsuit$), použili per partes na nájdenie integrálu s exponenciálnou funkciou ($\diamondsuit$) a integrály sme vyčíslili ($\clubsuit$). Dostaneme teda, že pravdepodobnosť kolapsu do základného stavu nového systému je $|c_{100}|^2 = \frac{512}{729} \approx 70,23 \%$.
Vypočítať tento koeficient pre ľubovoľný stav vo všeobecnosti bude náročnejšie. Predpokladajme, že nás zaujíma všeobecný väzobný stav $\phi_{nlm}$. Pre lineárny koeficient dostaneme $$\begin{aligned} c_{nlm} &= \int_{\mathrm{R}^3} \left( R^{Z = 2}_{nl} (r) Y_{lm} (\theta, \varphi) \right)^* R^{Z = 1}_{10} (r) Y_{00} (\theta, \varphi)\, \mathrm{d} \vec{r} \\ &= \int_0^{+\infty} \left(R^{Z = 2}_{nl} (r) \right)^* R^{Z = 1}_{10} (r) r^2 \, \mathrm{d}r \int_{0}^{\pi} \int_0^{2 \pi} Y^*_{lm} (\theta, \varphi) Y_{00} (\theta, \varphi) \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi \, , \end{aligned}$$ kde môžeme využiť to, že funkcie $Y_{lm}$ sú na seba ortogonálne podľa vzťahu1 $$ \int_{0}^{\pi} \int_0^{2 \pi} Y^*_{lm} (\theta, \varphi) Y_{l’m’} (\theta, \varphi) \sin \theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\varphi = \begin{cases} 1 & , l = l’ \land m = m’ \\ 0 & , l \neq l’ \lor m \neq m’ \end{cases} \, . $$ To znamená, že iba stavy $l = 0$ a $m = 0$ majú nenulovú pravdepodobnosť kolapsu.
Pokračovaním dostaneme $$\begin{aligned} c_{nlm} &= \delta_{l0} \delta_{m0} \int_0^{+\infty} R^{Z = 2}_{n0} (r) R^{Z = 1}_{10} (r) r^2 \, \mathrm{d}r \\ &= \delta_{l0} \delta_{m0} \frac{8 \sqrt{2}}{n^{\frac{5}{2}}} \int_0^{+\infty} L_{n-1}^{(1)} \left( \frac{4 r}{ n } \right) r^2 e^{-\frac{n+2}{n} r } \, \mathrm{d}r \, . \end{aligned}$$ Dostávame integrál súčinu polynómu a exponenciály. Použitím vzťahu pre zovšeobecnený Laguerrov polynóm dostaneme $$\begin{aligned} c_{nlm} &= \delta_{l0} \delta_{m0} \frac{8 \sqrt{2}}{n^{\frac{5}{2}}} \int_0^{+\infty} \frac{\left( \frac{4 r}{ n } \right)^{-1} e^{\left( \frac{4 r}{ n } \right)}}{(n-1)!} \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}{\left( \frac{4 r}{ n } \right)}^{n-1}} \left( e^{-{\left( \frac{4 r}{ n } \right)}} {\left( \frac{4 r}{ n } \right)}^{n} \right) r^2 e^{-\frac{n+2}{n} r } \, \mathrm{d}r \\ &= \delta_{l0} \delta_{m0} \frac{8 \sqrt{2}}{n^{\frac{5}{2}} (n-1)!} \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}{ r}^{n-1}} \left( r^n e^{-{ \frac{4 }{ n } r }} \right) r e^{-\frac{n -2 }{n} r } \, \mathrm{d}r \end{aligned}$$
Zadefinujeme si teda hľadaný integrál ako $$ I(a,b,n) = \int_0^{+\infty} r e^{-a r } \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}r ^{n-1}} \left( r^n e^{-b r } \right) \, \mathrm{d}r \, . $$
Tento integrál sa dá vypočítať ako parciálna derivácia iného integrálu $J(a,b,n)$ $$ I(a,b,n) = - \frac{\partial}{\partial a} J(a,b,n) \, , \qquad{(1)}$$ kde nový integrál je definovaný ako $$ J(a,b,n) = \int_0^{+\infty} e^{-a r } \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}r ^{n-1}} \left( r^n e^{-b r } \right) \, \mathrm{d}r \, . $$
Ak použijem na integrál $J(a,b,n)$ raz per partes, tak dostaneme $$ J(a,b,n) = \left[ e^{-a r } \frac{\mathrm{d}^{n-2}}{\mathrm{d}r ^{n-2}} \left( r^n e^{-b r } \right) \right]_0^{+\infty} - \int_0^{+\infty} (-a) e^{-a r } \frac{\mathrm{d}^{n-2}}{\mathrm{d}r ^{n-2}} \left( r^n e^{-b r } \right) \, \mathrm{d}r \, . $$ Prvý člen je nulový, keďže $(n-2)$-tá derivácia bude mať tvar $e^{-br} P(r)$, kde $P$ bude polynóm s nenulovými koeficientami od druhého rádu po $n$-tý rád. Zjednodušene dostaneme $$ J(a,b,n) = a \int_0^{+\infty} e^{-a r } \frac{\mathrm{d}^{n-2}}{\mathrm{d}r ^{n-2}} \left( r^n e^{-b r } \right) \, \mathrm{d}r \, . $$ Opakovaným použítím tohto postupu sa postupne zbavíme všetkých derivácií a dostaneme $$ J(a,b,n) = a^{n-1} \int_0^{+\infty} e^{-a r } \left( r^n e^{-b r } \right) \, \mathrm{d}r = \frac{ a^{n-1} n!}{(a+b)^{n+1}} \, . $$ Keď poznáme vzťah pre integrál $J(a,b,n)$, tak vieme vypočítať aj integrál $I(a,b,n)$ z rovnice 1a dostaneme $$ I(a,b,n) = - \frac{a^{n-2} n!}{(a+b)^{n+2}} \left[ b (n-1) - 2 a \right] \, . $$ Pre naše hodnoty $a = \frac{n-2}{n}$ a $b = \frac{4}{n}$ dostaneme $$ I\left(\frac{n-2}{n}, \frac{4}{n},n\right) = - \frac{2 (n-2)^{n-2} n^4 n!}{ (n+2)^{n+2}} \, . $$ A výsledný koeficient je2 $$\begin{aligned} c_{nlm} &= - \delta_{l0} \delta_{m0} 16 \sqrt{2} n^{\frac{5}{2}} \frac{ (n-2)^{n-2} }{ (n+2)^{n+2}} \, . \end{aligned}$$ Nasledujúca tabuľka hovorí, aké sú pravdepodobnosti, že elektrón skolabuje do stavu $\phi_{n00}$.
| $n$ | $\lvert c_{n00}\rvert^2$ |
|---|---|
| 1 | 70.23% |
| 2 | 25.00% |
| 3 | 1.27% |
| 4 | 0.39% |
| 5 | 0.17% |
| 6 | 0.09% |
Vidíme, že pre $n = 1$ dostávame konzistentný výsledok s podúlohou 1.
Aj keď funkcie $\phi_{nlm}(\vec{r})$ sú na seba kolmé, pokrývajú celý priestor a je ich nekonečne veľa, tak aj napriek tomu tvoria neúplnú bázu všetkých funkcií. Funkcie $\phi_{nlm}(\vec{r})$ popisujú takzvané väzobné stavy (stavy, keď elektrón je naviazaný na jadro a neopúšťa ho). Existujú aj neväzobné stavy, ktoré popisujú odchod elektrónu z jadra – ionizáciu.3
Aby sme zistili pravdepodobnosť ionizácie, tak musíme spočítať všetky pravdepodobnosti kolapsu do hocijakého väzobného vlastného stavu. Zvyšok do $100\%$ je pravdepodobnosť ionizácie, teda kolapsu do vlastných stavov, ktoré sa pre veľké vzdialenosti správajú ako elektrónové vlny4 $e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}}$. Tieto stavy sa volajú rozptylové vlastné stavy a zodpovedajú práve stavom popisujúce ionizáciu. Koeficienty $c_{n00}$ s rastúcim číslom $n$ klesajú veľmi rýchlo. Pre veľké $n$ sa koeficient správa ako $$\begin{aligned} c_{n00} &= - 16 \sqrt{2} n^{\frac{5}{2}} \frac{ (n-2)^{n-2} }{ (n+2)^{n+2}} =- 16 \sqrt{2} n^{\frac{5}{2}} e^{ (n-2)\ln(n-2) - (n+2) \ln(n+2) } \\ &= - 16 \sqrt{2} n^{\frac{5}{2}} e^{ (n-2) \left[\ln n + \ln \left(1- \frac{2}{n} \right) \right] - (n+2) \left[\ln n + \ln \left(1+ \frac{2}{n} \right) \right] } \\ &\approx - 16 \sqrt{2} n^{\frac{5}{2}} e^{ (n-2) \left[\ln n - \frac{2}{n} \right] - (n+2) \left[\ln n + \frac{2}{n} \right] } \\ &\approx - 16 \sqrt{2} e^{-4} n^{-\frac{3}{2}} \, . \end{aligned}$$ Pre pravdepodobnosť ionizácie $p_\mathrm{ion}$ teda dostávame $$ p_\mathrm{ion} = 1 - \sum_{n=1}^{+\infty} |c_{n00}|^2 \, . $$ Na výpočet tejto hodnoty môžeme spočítať niekoľko prvých členov a zvyšok vieme odhadnúť pomocou asymptotického správania. Nakoniec dostaneme $p_\mathrm{ion} \approx 2,63\%$. Takže s veľkou pravdepodobnosťou $97,4\%$ sa elektrón zachytí a neopustí jadro, ale existuje šanca $2,6\%$, že elektrón slobodne újde z jadra. Nenulovosť tejto pravdepodobnosti nám dokazuje, že funkcie $\phi_{nlm}(\vec{r})$ netvoria úplnú bázu.
Ak by niekoho zaujímal detailny dôkaz, tak tu je skrátená verzia: V prvom kroku sa ukáže, že intergál je nenulový iba pre $m = m’$. A v druhom kroku môžeme rovno uvažovať $m = m’$ dostaneme vzťah pre ortogonalitu pridružených Legendrových polynómov. ↩
Môžeme si všimnúť, že pre $n=2$ dostávame nedefinovaný výraz $0^0$, ktorý v našom prípade sa vyhodnotí ako 1, keďže je to najprirodzenejšie dodefinovanie vzťahu $x^x$ pre $x=0$. Môžeme si to overiť priamym výpočtom integrálu pre $n=2$. ↩
Aby sme boli úplný, tak popisujú okrem odchodu aj príchod elektrónu k jadru. ↩
V našom prípade je to ešte trochu komplikovanejšie. Pre dostatočne rýchlo klesajúce potenciály je to pravda. Ale Coulombov potenciál klesá pomaly a dodatočne tam vzniká ešte fázový posun, ktorý pridá do exponenciály člen úmerný $\sim \log(r)$. ↩
FX zastrešuje občianske združenie Trojsten.
Trojsten, o.z.
FMFI UK, Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Úlohy pre bežných smrteľníkov
Tímová fyzikálna súťaž pre stredoškolákov
Intenzívny fyzikálny zážitok v lete