Rýchlokurz kvantovou fyzikou

V kvantovej fyzike je stav elektrónu úplne popísaný vlnovou funkciou $\Psi(\vec{r})$, čo je komplexná funkcia závislá na polohe elektrónu v priestore $\vec{r}$. Druhá mocnina absolútnej hodnoty $|\Psi(\vec{r})|^2 = \rho(\vec{r})$ má fyzikálny význam hustoty pravdepodobnosti výskytu elektrónu v polohe $\vec{r}$. Preto, ak preintegrujeme hustotu pravdepodobnosti cez celý priestor, tak dostaneme celkovú pravdepodobnosť výskytu elektrónu niekde vo svete, čo je práve 1.

$$ \int_{\mathrm{R}^3} |\Psi(\vec{r})|^2 \, d \vec{r} = 1 \qquad{(1)}$$

Ak máme elektrón v nejakom systéme, tak sa môže nachádzať v ľubovoľnom stave $\Psi(\vec{r})$ (jediná podmienka je rovnica 1). Avšak iba niektoré stavy sú statické (stabilné) – volajú sa vlastné stavy $\phi_i(\vec{r})$. Vlastné stavy majú zopár vlastností:

• Vlastné stavy sú označené číslom $i$ (tzv. kvantové číslo) alebo skupinou kvantových čísel.

• Vlastné stavy sú na seba kolmé vo význame integrálu cez celý priestor (všimnite si, že v prípade $i = j$ dostaneme rovnicu 1). $$ \int_{\mathrm{R}^3} \phi^*_i(\vec{r}) \phi_j(\vec{r}) \, d \vec{r} = \begin{cases} 1 & \mathrm{pre} \,, i = j \\ 0 & \mathrm{pre} \,, i \neq j \end{cases} \qquad{(2)}$$

• Ľubovoľný stav $\Psi(\vec{r})$ sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia všetkých vlastných stavov $$ \Psi(\vec{r}) = \sum_{\forall i} c_i \phi_i(\vec{r}) \, . \qquad{(3)}$$

• Ak sa elektrón nachádza v stave $\Psi(\vec{r})$, ktorý nie je vlastný a elektrón pozorujeme, tak nastane takzvaný kolaps vlnovej funkcie – elektrón zmení svoj stav na jeden z vlastných stavov $\phi_i(\vec{r})$ s pravdepodobnosťou $|c_i|^2$.

Zadanie

Atóm trícia $^3_1\mathrm{H}$ je v základnom stave (vlastný stav s najnižšou energiou) atómu vodíka ($n = 1, l = 0, m = 0$). Znudené jadro podstúpi $\beta$-rozpad a zmení sa na jadro hélia $^3_2\mathrm{He}$. Prekvapený elektrón už viac nie je vo vlastnom stave nového jadra a preto keď ho pozorujeme, tak si elektrón musí vybrať, do ktorého z vlastných stavov nového jadra skolabuje.

1. Aká je pravdepodobnosť, že elektrón skolabuje do základného stavu nového jadra $\phi_{100}(\vec{r})$?

2. Aká je pravdepodobnosť, že elektrón skolabuje do iného väzobného vlastného stavu nového jadra $\phi_{nlm}(\vec{r})$?

3. Aká je pravdepodobnosť, že elektrón ionizuje (skolabuje do nejakého z vlastných stavov opúšťajúc jadro)?

Nápoveda: V jadre s nábojom $Z$ sú vlastné (väzobné) stavy popísané v sférických súradniciach ako

$$ \phi_{nlm} (r, \theta, \varphi) = R_{nl} (r) Y_{lm} (\theta, \varphi) \, , $$

$$ R_{nl} (r) = \sqrt{\left( \frac{2Z}{n } \right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!} } e^{-\frac{Z r}{n}} \left( \frac{2 Z r}{n} \right)^l L_{n-l-1}^{(2l+1)} \left( \frac{2 Z r}{ n } \right) \, , $$

$$ Y_{lm} (\theta, \varphi) = (-1)^m \sqrt{ \frac{(2l+1)}{4 \pi} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l (\cos \theta) e^{i m \varphi} \, , $$

kde $L_{n-l-1}^{(2l+1)}$ je zovšeobecnený Laguerrov polynóm

$$ L_n^{(\alpha)} (x) = \frac{x^{-\alpha} e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( e^{-x} x^{n+\alpha} \right) , $$

a $P^m_l$ je pridružený Legendrov polynóm

$$ P_l^m (x) = \frac{(-1)^m}{2^l l!} (1-x^2)^{\frac{m}{2}} \frac{d^{(l+m)}}{dx^{(l+m)}} \left( x^2-1 \right)^l . $$

Možné hodnoty kvantových čísel sú $n \in \left\{ 1,\, 2,\, 3,\, \dots,\, +\infty \right\}$, $l \in \left\{0,\, 1,\, 2,\, \dots ,\, n-2,\, n-1 \right\}$, $m \in \left\{-l,\, -l+1,\,-l+2,\, \dots,\, l-1,\, l \right\}$.