Najprv si zadefinujme pokojovú sústavu Zeme a Proxima Centauri tak, že Zem sa nachádza v počiatku $\vec{r}_{\text{Zem}} = (0,0,0)$ a Proxima Centauri v $x$-ovom smere $\vec{r}_\text{Proxima Centauri} = (d,0,0)$. Laserový lúč (fotóny) a sonda sú vysielané zo Zeme v pozitívnom smere osi $x$. Najprv musíme vypočítať, ako je sonda urýchlená pri zrážke s jedným fotónom. Musíme uvažovať relativistickú zrážku. Pri klasickej zrážke sa zachováva vektor celkovej hybnosti a celková energia, pri relativistickej zrážke sa zachováva 4-vektor celkovej hybnosti. 4-vektor hybnosti $P_\mathrm{objekt}$ objektu s hmotnosťou $m$ a rýchlosťou $\vec v = (v_x, v_y, v_z)$ je $$ P_\mathrm{objekt} = \left( \frac{E}{c}, \vec p \right) = \left( \frac{m c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{m v_x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{m v_y}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{m v_z}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \right), $$ kde sme použili $E = \gamma m c^2$ celkovú energiu objektu a $\vec p = \gamma m \vec v$ relativistickú hybnosť objektu. Pripomíname, že $c$ je rýchlosť svetla a $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ je Lorentzov faktor.

4-vektor hybnosti $P_\mathrm{fot\acute{o}n}$ fotónu má rovnaký tvar, len energia $E$ a hybnosť $\vec p$ sú určené vlnovou dĺžkou $\lambda$ $$ P_\mathrm{fot\acute{o}n} = \left( \frac{E}{c}, \vec p \right) = \left( \frac{h}{\lambda}, \frac{h}{\lambda} s_x ,\frac{h}{\lambda} s_y ,\frac{h}{\lambda} s_z\right), $$ kde $h$ je Planckova konštanta a $\vec s = (s_x,s_y,s_z)$ je vektor smeru pohybu fotónu dĺžky 1.

Pred zrážkou je 4-vektor hybnosti fotónu $$ P_\mathrm{f,0} = \left( \frac{h}{\lambda}, \frac{h}{\lambda} , 0 ,0 \right), $$ a 4-vektor hybnosti sondy $$ P_\mathrm{s,0} = \left( \frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{m v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} , 0 ,0 \right). $$

Po zrážke je 4-vektor hybnosti fotónu $$ P_\mathrm{f,1} = \left( \frac{h}{\lambda’}, - \frac{h}{\lambda’} , 0 ,0 \right), $$ a 4-vektor hybnosti sondy $$ P_\mathrm{s,1} = \left( \frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v’^2}{c^2}}}, \frac{m v’}{\sqrt{1-\frac{v’^2}{c^2}}} , 0 ,0 \right). $$

Keďže sa celkový 4-vektor hybnosti zachováva, dostaneme rovnicu

$$\begin{align} P_\mathrm{f,0} + P_\mathrm{s,0} &= P_\mathrm{f,1} + P_\mathrm{s,1} \, , \ \left( \frac{h}{\lambda} + \frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}, \frac{h}{\lambda} + \frac{m v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} , 0 ,0 \right) &= \left( \frac{h}{\lambda’} + \frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v’^2}{c^2}}}, - \frac{h}{\lambda’} + \frac{m v’}{\sqrt{1-\frac{v’^2}{c^2}}} , 0 ,0 \right) \, .\ \end{align}$$ Vzniká sústava 2 rovníc o 2 neznámych (nová vlnová dĺžka odrazeného fotónu $\lambda’$ a nová rýchlosť sondy $v’$). Keďže sa nás zaujíma iba druhá premenná, môžeme sa prvej premennej zbaviť sčítaním rovníc $$ \frac{2 h}{\lambda} + \frac{m (c+v)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \frac{m (c+v’)}{\sqrt{1-\frac{v’^2}{c^2}}}\, . $$ Keďže je energia jedného fotónu omnoho menšia od energie sondy, môžeme predpokladať, že sa rýchlosť sondy zmení iba minimálne $v’ = v + \delta v$. Použitím approximácie 1. rádu pre $\delta v \ll v < c$ dostaneme $$ \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c} + \frac{\delta v}{c} \right)^2 }} \approx \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2} - \frac{2 v }{c^2} \delta v }} \approx \frac{1}{ \sqrt{ \left( 1- \frac{v^2}{c^2} \right) \left( 1 - \frac{2 v }{c^2 - v^2} \delta v \right) }} \approx \frac{1}{ \sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}} \left( 1 + \frac{v }{c^2 - v^2} \delta v \right) \, . $$ Dosadením do rovnice dostaneme zmenu rýchlosti $\delta v$

$$ \delta v = \frac{2 h}{\lambda m} \frac{c-v}{c} \sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}} \, . $$

Na danom vzťahu vidíme, že sonda bude pri väčších rýchlostiach urýchlená pomalšie kvôli relativistickému faktoru (faktor $\sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}}$), ale zároveň kvôli zmene vnímanej vlnovej dĺžky fotónu (faktor $\frac{c-v}{c}$).

Keď už poznáme, ako sa zmení rýchlosť sondy po zrážke s jedným fotónom, musíme určiť, koľko fotónov sondu zasiahne za jednotku času. Ak lasery majú výkon $P$ a energia jedného fotónu je $\frac{h c}{\lambda}$, tak za času $\Delta t$ lasery vyprodukujú konštantný počet fotónov $\Delta N$ zodpovedajúci tomuto výkonu $$ \Delta N = \frac{P \Delta t}{ E_\mathrm{fot\acute{o}n}} = \frac{P \lambda}{ h c } \Delta t \, . $$

Tieto fotóny idú rýchlosťou svetla $c$ v smere osi x. Zodpovedajú konštatnému prúdu častíc. Ak by sa sonda nehýbala, tak za čas $\Delta t$ ňou prejde $\Delta N$ častíc. Keď sa sonda hýbe rýchlosťou $v$ v smere osi x, tak ňou prechádza menší prúd častíc. V extrémnou prípade pri rýchlosti sondy $v = c$ by ju nezasiahli už žiadne fotóny. Preto počet fotónov dopadajúcich na sondu je zmenšený faktorom $\frac{c-v}{c}$ a dostaneme $$ \Delta N_\mathrm{sonda} = \frac{P \lambda}{ h c } \frac{c-v}{c} \Delta t \, . $$ Preto celková zmena rýchlosti sondy $\Delta v$ za čas $\Delta t$ je $$ \Delta v = \Delta N_\mathrm{sonda} \delta v = \frac{2 P}{m c } \left( \frac{c-v}{c} \right)^2 \sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}} \Delta t \, . $$ Ak zanedbáme skokový nárast rýchlosti pri každej zrážke s fotónmi, tak dostaneme rovnicu pre zrýchlenie sondy $$ a = \frac{dv }{dt}= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{2 P}{m c } \left( \frac{c-v}{c} \right)^2 \sqrt{ 1- \frac{v^2}{c^2}} \, . $$

Môžeme si všimnúť, že zrýchlenie nezávisí od vlnovej dĺžky fotónov, ale iba od celkového výkonu lasera. Je to kvôli tomu, že laser s polovičnou vlnovou dĺžkou vyprodukuje pri rovnakom výkone polovičný počet fotónov, ale tie majú dvojnásobnú hybnosť a pôsobia dvojnásobnou silou pri odraze a tieto dva efekty sa vyrušia.

Pre jednoduchosť, je lepšie pracovať v relativite s rýchlosťou v jednotkách $c$. Po zavedení rýchlosti $\beta = \frac{v}{c}$, dostaneme vzťah

$$ \frac{d \beta}{d t } = \frac{1}{c} \frac{d v}{d t } = \frac{2 P}{m c^2 } \left(1-\beta \right)^2 \left( 1- \beta^2 \right)^{1/2} \, . $$ Separáciou premenných a integráciou oboch strán dostaneme vzťah medzi rýchlosťou $\beta$ a časom $t$ $$ t = \frac{m c^2}{2 P} \left[ \frac{(2-\beta)(1+\beta)}{3 (1-\beta) (1-\beta^2)^{1/2}} - \frac{2}{3} \right] \, . $$ Vzťah určuje implicitnú funkciu $\beta (t)$. Pre výpočet vzdialenosti $d$ potrebujeme ešte raz zintegrovať rýchlosť. Keďže poznáme $t(\beta)$ a nie $\beta(t)$, tak použijeme trik per partes $$ d = \int v d t = c \int \beta d t = c \left[ \beta t (\beta) - \int t(\beta) d \beta \right] \, . $$ Po dosadení vzťahu $t(\beta)$ a následnej integrácie dostaneme vzťah $$ d = \frac{m c^3}{2 P} \left[ \frac{(2 \beta -1 )(1+\beta)}{3 (1-\beta) (1- \beta^2)^{1/2}} + \frac{1}{3} \right] \, . $$

Pre kontrolu, pre malé rýchlosti ide o zrýchlenie s konštantným zrýchlením $\frac{2 P}{m c}$. Pre $\beta \ll 1$ sa oba vzťahy zjednodušia na $$ t \approx \frac{m c}{2 P} c \beta \, , ~~~~ d \approx \frac{m c}{2 P} \frac{c^2 \beta^2}{2} \, , $$ čo zodpovedá správne vzťahom pre rovnomerné zrýchlenie $$ t = \frac{1}{a} v \, , ~~~~ d = \frac{1}{a} \frac{v^2}{2} \, , $$ kde rýchlosť $v = c \beta$ a zrýchlenie $a = \frac{2 P}{m c}$.

Naopak, pre veľmi veľké rýchlosti blízke rýchlosti svetla $\beta \approx 1$ sa oba vzťahy zjednodušia na $$ t \approx \frac{m c^2}{2 P} \frac{\sqrt{2}}{3 (1-\beta)^{3/2}} \, , ~~~~ d \approx \frac{m c^3}{2 P} \frac{\sqrt{2}}{3 (1-\beta)^{3/2}} \, , $$ a sonda prejde danú vzdialenosť prakticky za rýchlosť svetla $d \approx c t$.

Pre zadané hodnoty dostaneme rýchlosť sondy $\beta = 0{,}482$ a čas $t = 14{,}1\,\mathrm{y}$.