Predpokladajme, že homogénne elektrické pole v okolí gule je spôsobené dvojicou opačných nábojov $+Q$ a $-Q$ vzdialených ďaleko od seba v polohách $(+D,0,0)$ a $(-D,0,0)$. V toto nastavení sa dá nájsť elektrické pole v okolí gule pomocou metódy zrkadlenia nábojov. Platí totiž, že ak máme jeden náboj v okolí vodivej gule, tak elektické pole takejto sústavy je identické s elektrickým poľom dvojice pôvodný náboj a imaginárny náboj. Konkrétne, ak máme náboj $+Q$ v polohe $D$, tak druhý (imaginárny) náboj má veľkosť $Q’ = -Q \frac{R}{D}$ a polohu $D’ = \frac{R^2}{D}$. V prípade sýstavy dvoch nábojov v okolí vodivej gule je elektrické pole superpozíciou jednotlivých riešení pre jeden náboj.

Zrkadlenie náboja $+Q$ na vodivej guli s polomerom $R$ na imaginárny náboj $Q’$.

Vyriešime najprv teda úlohu pre jeden náboj. Majme náboj $+Q$ v polohe $(+D,0,0)$. Druhý imaginárny náboj bude teda mať veľkosť $-Q \frac{R}{D}$ a bude sa nachádzať v polohe $\left( \frac{R^2}{D} ,0,0\right)$. Electrický potenciál tejto dvojice nábojov v bode $\vec{r} = (x,y,z)$ je potom

$$ V( \vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{r^2 + D^2 - 2 D x }} - \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q \frac{R}{D} }{\sqrt{r^2 + \frac{R^4}{D^2} - 2 \frac{R^2}{D} x }} \, . $$

Po malej úprave dostaneme

$$ V( \vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{r^2 + D^2 - 2 D x }} - \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q }{\sqrt{\frac{D^2}{R^2} r^2 + R^2 - 2 D x }} \, . $$

Môžeme si všimnúť, že na povrchu gule $|\vec{r}| = R$ je potenciál nulový. Keďže nás bude zaujímať, aké je elektrické pole na povrchu gule $|\vec{r}| = R$, potrebujeme záporný gradient potenciálu

$$ \vec{E} = - \vec \nabla V \, . $$

A keďže nás bude zaujímať radiálny smer, prevedieme výraz do sférických súradníc

$$ V( \vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{r^2 + D^2 - 2 D r \cos \theta }} - \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q }{\sqrt{\frac{D^2}{R^2} r^2 + R^2 - 2 D r \cos \theta }} \, . $$

Pre elektickú intenzitu na povrchu gule tak potom dostaneme

$$ E_r = - \left. \frac{\partial V}{\partial r} \right|_{r = R} = - \frac{Q}{4\pi \epsilon_0} \frac{(D^2 - R^2)}{R \left( R^2 + D^2 - 2 D R \cos \theta \right)^{3/2}} \, . $$

Keďže toto je elektrické pole nad guľou a elektrické pole pod povrchom gule je nula, tak z Gaussoveho zákona vieme vypočítať plošný náboj na povrchu gule ako

$$ \sigma^+ = \epsilon_0 E_r \, . $$

Keďže je náboj $+Q$ vo veľkej vzdialenosti $D \gg R$, môžeme použiť approximáciu pre popis distribúcie náboja na povrchu gule

$$ \sigma^+ = - \frac{Q}{4\pi} \frac{(D^2 - R^2)}{R D^3 \left( 1 - 2 \frac{R}{D} \cos \theta + \frac{R^2}{D^2} \right)^{3/2}} \approx - \frac{Q}{4\pi} \frac{ 1}{R D } \left( 1 + 3 \frac{R}{D} \cos \theta \right) \, . $$

Zrkadlenie nábojov $+Q$ a $-Q$ na vodivej guli s polomerom $R$ na imaginárne náboje $Q’$ a $-Q’$.

Keď budeme postupovať rovnako pre náboj $-Q$ v polohe $(-D,0,0)$, tak dostaneme, že ním indukovaná hustota náboja na povrchu gule je

$$ \sigma^- = \frac{Q}{4\pi} \frac{ 1}{R D } \left( 1 - 3 \frac{R}{D} \cos \theta \right) \, . $$

Celkový povrchový náboj na guli potom je

$$ \sigma = \sigma^+ + \sigma^- = - \frac{3 Q}{2\pi} \frac{ 1}{D^2 } \cos \theta \, . $$

Ak teda vypočítame náboj na jednej pologuli, tak dostaneme

$$ Q_{semi} = \int \sigma dS = \int_0^{\pi/2} \sigma 2 \pi R^2 \sin \theta d \theta = \frac{3 Q}{2} \frac{ R^2 }{D^2 } \, . $$

Nás však zaujíma, ako tento náboj závisí od veľkosti vonkajšieho homogénneho elektrického poľa $E$. Náboje $+Q$ a $-Q$ vytvárajú v okolí gule približne homogénne elektrické pole veľkosti

$$ E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{D^2} - \frac{-Q}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{D^2} = \frac{Q}{2 \pi \epsilon_0} \frac{1}{D^2}. $$

Keď vyberieme tento faktor von z výrazu pre náboj na pologuli, tak dostaneme

$$ Q_{semi} = \frac{Q}{2 \pi \epsilon_0} \frac{1}{D^2} \cdot 3 \pi \epsilon_0 R^2 = 3 \pi \epsilon_0 E R^2 \, . $$