Nech $x$ a $y$ sú súradnice ako na obrázku. Popíšme profil mláky, najprv ako funkciu $y(x)$. Táto funkcia môže byť viacznačná, preto neskôr prejdeme ku rovnici pre $x(y)$.

Voľba súradníc

Hydrostatický tlak je $-\rho g y$, a teda normálová sila na malý kus hladiny (na $1$ meter v smere kolmom na obrázok) je $$ -\rho g y \mathrm{d} l = - \rho g y \sqrt{1 + (y’)^{2}} \mathrm{d} x. $$ Táto sila sa musí vyrovnať s vektorovým súčtom síl povrchového napätia. Povrchové napätie ťahá každý element hladiny pozdĺž jeho hranice, s veľkosťou úmernou dĺžke hranice skrz konštantu $\sigma$.

Vektorový súčet síl

Ak dve sily veľkosti $\sigma$ zvierajú uhol $\mathrm d \varphi$ ako na obrázku, ich súčet má veľkosť $\sigma \mathrm d \varphi$ a ukazuje kolmo dnu do mláky. Rovnica rovnováhy je teda $$ - \rho g y \sqrt{1 + (y’)^{2}} \mathrm{d} x \stackrel{!}{=} \sigma \mathrm d \varphi = |\sigma \mathrm d \operatorname{arctan} y’| = \sigma \frac{y’’ \operatorname{sgn}(y’‘)}{1+(y’)^{2}} \mathrm d x, $$ kde sme upravili pravú stranu. Znamienko $\operatorname{sgn}{y’‘}$ pochádza z toho, že sila dnu od povrchového napätia je kladná pre konkávny aj konvexný povrch (nad a pod previsom mláky). Rovnicu rovnováhy teda môžeme upravovať nasledovne

$$\begin{aligned} \rho g y \sqrt{1+(y’)^{2}} &= \sigma \frac{y’’ \operatorname{sgn}(y’‘)}{1+(y’)^{2}} \\ \frac{\rho g}{\sigma} y &= \frac {y’‘\operatorname{sgn}(y’‘)}{({1+(y’)^{2}})^{3/2}}; \quad \quad \text{vynásobne rovnicu $y’$} \\ \frac{\rho g}{\sigma} y y’ & = \frac{y’ y’’ \operatorname{sgn}(y’‘)}{({1+(y’)^{2}})^{3/2}} \\ \frac{\rho g}{2\sigma} (y^{2})’ &= \operatorname{sgn}(y’‘) \left( ({1+(y’)^{2}})^{-1/2}\right)’. \end{aligned}$$

Dostávame

$$\frac{\rho g}{2\sigma}y^{2} = C + \operatorname{sgn}(y’‘) ({1+(y’)^{2}})^{-1/2}.$$ Konštantu $C$ určíme nasledovne. Pozrieme sa na vrch mláky, teda sme v prípade konkávneho povrchu kde $\operatorname{sgn}(y’‘) = -1$. Keďže ďaleko od okraja je povrch mláky vodorovný na polohe $y=0$, chceme aby (pre $x \to -\infty$) naše riešenie spĺňalo $y\to 0$ aj $y’\to 0$. To je možné len pre $C=1$. Zbavme sa tiež faktoru $\frac{\rho g}{2\sigma}$, ktorý má rozmer $\mathrm m^{-2}$: prejdime ku bezrozmerným súradniciam $\tilde{y} = \sqrt{\frac{\rho g}{2\sigma}}y$ a $\tilde x = \sqrt{\frac{\rho g}{2\sigma}}x$. Dosadíme a vyjadríme najprv $\tilde{y}’ = \mathrm d \tilde y / \mathrm d \tilde x = \mathrm d y /\mathrm d x$ (znamienko $\operatorname{sgn}(y’‘)$ vypadne vďaka druhej mocnine) $$\left|\frac{\mathrm d \tilde{y}}{\mathrm d \tilde{x}} \right| = \frac{\sqrt{1 - (1-\tilde{y}^2)^2}}{|1-\tilde{y}^2|}.$$ Prejdime teraz ku závislosti $\tilde{x}(\tilde{y})$, aby sme vyjadrovali jednoznačnú funkciu: $$\left|\frac{\mathrm d \tilde{x}}{\mathrm d \tilde{y}}\right| = \frac{|1-\tilde{y}^2|}{|\tilde{y}| \sqrt{2-\tilde{y}^2}}.$$ Zbavme sa ešte absolútnych hodnôt. V našich súradniciach je $\tilde{y} < 0$. Pohľadom na obrázok určíme, že profil mláky ako funkcia $\tilde{x}(\tilde{y})$ má deriváciu ktorá mení znamienko, všetky absolútne hodnoty preto môžeme vymeniť za jedno znamienko¹.

$$ \frac{\mathrm d \tilde{x}}{\mathrm d \tilde{y}} = \frac{1-\tilde{y}^2}{\tilde{y} \sqrt{2-\tilde{y}^2}}. \qquad{(1)}$$

Tento integrál sa dá spočítať elementárne substitúciou $t^2 = 2-\tilde{y}^2$, dostávame $$\tilde{x} = \int \frac{1-\tilde{y}^2}{\tilde{y} \sqrt{2-\tilde{y}^2}} \mathrm d \tilde{y} = \int \frac{1-t^2}{2-t^2} \mathrm dt = \int \mathrm dt - \frac{1}{2-t^2} \mathrm dt.$$ Prvý člen sa zintegruje na $t$, druhý člen pomocou rozkladu na parciálne zlomky (použijúc $0 < t < \sqrt 2$) $$\int \frac{1}{2-t^2} \mathrm dt = \frac{1}{2\sqrt 2}\int \frac{\mathrm dt}{\sqrt 2 - t} + \frac{\mathrm dt}{\sqrt 2 + t} = \frac1{2 \sqrt 2} \log \frac{\sqrt{2}+t}{\sqrt 2-t}.$$ Po spätnom dosadení dostaneme

$$\begin{aligned} \tilde{x} &= \sqrt{2} \left[ \sqrt{1 - \tilde y^2 /2 } + \frac 14 \log \frac{1 - \sqrt{1-\tilde{y}^2/2}} {1 + \sqrt{1-\tilde{y}^2/2}} \right] \\&= \sqrt{2} \left[ \sqrt{1 - \tilde y^2 /2 } - \frac 12 \operatorname{arctanh}{\sqrt{1-\tilde{y}^2/2}} \right] \nonumber \end{aligned}\qquad{(2)}$$

Analýza riešenia

Spomeňme si najprv, že premenné s vlnkou sú merané v jednotkách $\sqrt{\frac{2\sigma}{\rho g}}$ čo pre vodu pri $25$ stupňoch predstavuje približne $3,8 \, \mathrm{mm}$. Z tvaru riešenia môžeme urobiť nasledovné pozorovania:

• Z rovnice 1 vidíme, že derivácia $\tilde{x}$ je nulová pre $\tilde{y} = 1$, teda v tomto bode je kraj mláky zvislý. V tomto bode je $$\tilde{x}(-1)= 1-\frac{\sqrt 2}2 \operatorname{arctanh}\frac{\sqrt 2}2\approx 0.38$$

• Maximálna hĺbka mláky je $\tilde{y} = -\sqrt{2}$, keďže pre túto hodnotu pravá strana rovnice 1 diverguje. Hodnota $\tilde{x}(-\sqrt{2})$ je $0$; maximálny previs mláky je teda hore spočítaná hodnota $\tilde{x}(-1)$. Vo všeobecnosti, previs je rovný $\tilde{x}(-1) - \tilde{x}(-\tilde{h})$, kde (kladné) $\tilde{h}$ je bezrozmerná hĺbka mláky medzi $1$ s $\sqrt{2}$.

• Pre $\tilde{y}$ malé sa riešenie 2 zjednoduší na $$\tilde x = \sqrt{2} - \frac 34 + \frac 12 \log{(-\tilde{y})} \quad \text{alebo} \quad \tilde{y} = - D \exp(2x),$$ teda mláka sa ku rovnému povrchu blíži ako exponenciála.

• Na druhej strane, pre mláku maximálnej hĺbky zvolme parameter $\tilde{y} = -\sqrt{2} + \tilde{\varepsilon}$. Potom blízko spodku mláky platí $\tilde x = 2^{-1/4}\sqrt {\tilde{\varepsilon}}$, alebo $$\tilde{y} = -\sqrt{2} + \sqrt{2} \tilde{x}^2,$$ teda mláka v tomto prípade pri dne vyzerá ako spodok paraboly. Všetky tieto informácie sú v grafe

Profil mláky s asymptotickým správaním a význačnými bodmi.

• Mláku, ktorá zviera konkrétny uhol $\alpha_\text{dotyk}$ s podlahou nájdeme tak, že zvolíme riešenie ktoré končí v hĺbke menšej než $\tilde y = - \sqrt{2}$. Kotangens uhla v hĺbke $\tilde h = - \tilde y$ je daný rovnicou 1, teda medzi hĺbkou $\tilde{h}$ a uhlom je vzťah $$\alpha_\text{dotyk} = \operatorname{arccot} \frac{\tilde{h}^2-1}{\tilde{h} \sqrt{2-\tilde{h}^2}}$$ Pre $\tilde{h}\to \sqrt{2}$ je uhol ${0}^\circ$, pre $\tilde{h} = 1$ je uhol ${90}^\circ$ a pre $\tilde{h} \to 0$ je uhol ${180}^\circ$. Pravá stranu rovnice 1 a uhol $\alpha_\text{dotyk}$ sú vynesené v grafe:

Derivácia $\tilde{x}$ a uhol v závislosti od hĺbky.