Trenie okolo valca

Pozrieme sa na kúsok lana, ktoré zaberá uhol $\mathrm{d}\alpha$. Pre dostatočne malé $\mathrm{d} \alpha$ sa pnutie v lane pozdĺž tejto dĺžky skoro nezmení, označme si ho $T$. Potom silu, ktorou je tento kúsok lana pritláčaný k valcu, dostaneme z toho, že oba jeho konce sú ťahané silou $T$ v smere dotyčníc k valcu v daných bodoch. Priemet každej z týchto síl do smeru pritláčajúceho lano k valcu je $F_N=T \sin (\mathrm{d} \alpha/2) \approx T /2 \, \mathrm{d} \alpha$, kde sme využili, že pre malé uhly $\sin x=x$. Zároveň v sínuse vystupuje polovičný uhol preto, lebo to je uhol od stredu toho kúska lana po okraj, zatiaľčo $\mathrm{d}\alpha$ je od jedného okraja po druhý. Nesmieme zabudnúť na to, že tieto priemety sú 2, takže celková sila pritlačenia je $F = 2 F_N = T \, \mathrm{d} \alpha$. Kolmo na prítlačnú silu $F$ pôsobí trecia sila $\mathrm{d} F_T= f T \, \mathrm{d} \alpha$. Práve o túto hodnotu sa môže maximálne zmeniť pnutie $\mathrm{d}T$ pozdĺž tohto kúska lana v statickej situácii. Dostávame teda diferenciálnu rovnicu $$\begin{aligned} \mathrm{d} T &=-f T \, \mathrm{d} \alpha\\ \int_{mg} ^{F} \frac{\mathrm{d}T}{T} &=\int_{0} ^{\alpha}-f \, \mathrm{d} \alpha\\ \ln \left(\frac{F}{mg} \right) &=-f\alpha \\ \alpha &=\frac{1}{f}\ln\left(\frac{mg}{F} \right)\,. \end{aligned}$$ Tu si len treba dať pozor na znamienko: zadanie hovorí, že sila akurát stačí na to, aby závažie udržala (čiže ak by bola sila menšia alebo závažie ťažšie, už by ho neudržala). Pnutie v lane teda klesá z hodnoty $mg$ až na hodnotu $F$ (to hovorí druhý riadok tohto výpočtu).

Dodáme, že odvodený vzťah sa nazýva aj “Capstan equation” (navijákový zákon), keďže sa používa na lodiach pri navíjakoch, ktoré dokážu znásobiť ťažnú silu. Niektorí riešitelia zvládli nájsť práve tento vzťah.

Fata Morgana

Lego pozerá pod uhlom $\beta_0=\alpha/250$ “nadol” oproti vodorovnému smeru¹. Index lomu sa mení v závislosti na výške, čiže “kolmica” k “rozhraniu” je zvislý smer, uhol voči zvislému smeru je $\pi/2-\beta$. Potom zo Snellovho zákona dostaneme $$\begin{aligned} n(h_0)\sin(\pi/2-\beta_0) &= n(h)\sin(\pi/2-\beta(h)) \\ n(h_0)\cos \beta_0 &= n(h)\cos \beta(h) \\ \cos \beta(h) &= \frac{n_0}{1-k h_0} \frac{1-k h}{n_0} \cos \beta_0 \,. \end{aligned}$$ Už uhol $\beta_0$ je dosť malý, čiže $\cos \beta_0$ je skoro 1 a ako sa bude lúč blížiť k zemi, zlomok $(1-kh)/(1-k h_0)$ bude väčší než 1 a bude rásť, až v nejakom bude dostaneme, že $\cos \beta (h)=1$, vtedy sa lúč “otočí” a ďalej pôjde zrkadlovo zas nahor. Chceme teda nájsť horizontálnu vzdialenosť k tomuto bodu obratu a vynásobiť ju 2. Buď môžeme riešiť diferenciálnu rovnicu, alebo (ako názov úlohy napovedá) nájsť nejaký trik.

Konkrétne si uvedomíme, aká je definícia sínusu: y-ová súradnica bodu na jednotkovej kružnici, ktorý zo stredu vidíme pod príslušným uhlom. No a nám sa hodnota kosínu mení lineárne v závislosti od aktuálnej výšky. Teraz sa už len zamyslieť nad všetkýmy posunmi, otočeniami a preškálovaniami tej kružnice. Výšku stredu kružnice dostaneme ako také $h$, pre ktoré by šiel lúč zvislo nadol a teda pre ktorú platí $$0=\cos \beta (h_s)= \frac{1-k h_s}{1-k h_0} \cos \beta_0 \rightarrow h_s=\frac{1}{k}\,.$$ Zároveň pre kružnicu platí, že polomer je vždy kolmý k dotyčnici v danom bode, čiže keď si predstavíme priamku idúcu z Legovych očí kolmo na smer ktorým pozerá, tak táto priamka prechádza stredom kružnice po ktorej lúč pôjde.

Čiže máme 2 priamky na ktorých leží stred, tým pádom ho vieme nájsť. Konkrétne nás zaujíma horizontálna vzdialenosť medzi stredom kružnice a Legovými očami (lebo “bod obratu lúču” je zvislo pod stredom kružnice). Ich zvislá vzdialenosť je $h_s-h_0$ a z trigonometrie je pomer medzi zvislou a horizontálnou vzdialenosťou daný tangensom $\beta_0$ (treba využiť zhodnosť uhlov medzi dvoma kolmými dvojicami priamok). A pripomínam, že vzdialenosť k autu je dvojnásobok tejto horizontálnej vzdialenosti, čiže $$\Delta x=2(h_s-h_0)\tan \beta_0 \,.$$

Problém je, že $h_0$ nemáme zadané. Na druhej strane, pre nejaké realistické hodnoty $k$ bude výška $1/k$, v ktorej by lúč šiel zvislo zrejme celkom astronomická (doslova) a teda ľudská výška bude oproti nej celkom zanedbateľná a teda nám stačí písať $\Delta x\approx 2h_s\tan \beta_0$.

Lietanie medzi autami

Táto časť určite ide spočítať zosumovaním nekonečnej rady. Ale tu je ten trik veľmi priamočiary a všetky riešenia ho obsahovali hneď na prvý pokus: spočítame si čas, ktorý autám potrvá, kým sa stretnú $t=\Delta x /(v_1+v_2)$, potom dráha, ktorú za ten čas kondor nalieta bude jednoducho $s=v_3 t=\Delta x v_3/(v_1+v_2)$. Zostáva všetko podosádzať a dostaneme $$s=\Delta x \frac{v_3}{v_1+v_2}=2 h_s\tan \beta_0 \frac{v_3}{v_1+v_2}=\frac{2}{k}\tan \left( \frac{1}{250f}\ln\left(\frac{mg}{F} \right) \right) \frac{v_3}{v_1+v_2}\,.$$