Najprv si zistíme efektívnu hrúbku atmosféry. Tlak na zemi zodpovedá hydrostatickému tlaku vzduchu nad ňou. Skutočná atmosféra má premenlivú hustotu, teplotu, tlak a zloženie s výškou. Plynule redne a prechádza do vesmíru s veľmi riedkou hustotou molekúl. Preto si vystačíme so zjednodušením, že atmosféra je homogénna čo do hustoty, teploty a zloženia (efektívne sa správa ako veľmi riedky oceán a my sme morské živočíchy na jeho dne) a z tlaku vieme vypočítať jej výšku $H$ ako $$p = H \rho g ~ ~ \implies ~ ~ H = \frac{p}{\rho g} \approx 8,6 \, \mathrm{km} \, .$$ Táto hodnota zodpovedá dobrému rádovému dolnému odhadu výšky atmosféry (vo výške $\approx8 \, \mathrm{km}$ má atmosféra polovičný tlak, vo výške $\approx14\, \mathrm{km}$ štvrtinový).

Ako svetlo prechádza vrchnými vrstvami atmosféry, časť je rozptýlená a intenzita nerozptýleného svetla klesá, čím sa svetlo dostáva bližšie ku povrchu Zeme. Najprv musíme vypočítať, koľko svetla rozptýli jedna molekula vzduchu.

Celú konštantnú časť môžeme zadefinovať ako novú konštantu $A$. $$A := \frac{1}{\lambda^4} \left[\frac{3 \pi}{\rho_N} \frac{(n^2-1)}{(n^2+2)} \right]^2 \approx 6,65 \cdot 10^{-31}\, \mathrm{m^2}$$ Smer rozptylu je určený 2 sférickými uhlami: $\theta$ (uhol medzi svetlom prichádzajúcim a rozptýleným) a $\phi$ (natočenie roviny, v ktorej sa oba smery nachádzajú). Infinitezimálny priestorový uhol $\mathrm{d} \Omega$ v týchto súradniciach je $$\mathrm{d} \Omega = \sin \theta \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} \phi \, .$$ Aby sme dostali celkovú intenzitu rozptýleného svetla, musíme preintegrovať diferenciálnu intenzitu cez všetky priestorové uhly. $$I_S = \int_\Omega \frac{\mathrm{d} I_S}{\mathrm{d} \Omega} \mathrm{d} \Omega = \int_\Omega I \frac{1 + \cos^2 \theta}{2} A \mathrm{d} \Omega = \frac{I A}{2} \int_0^{\pi} \int_0^{2 \pi} \left( 1 + \cos^2 \theta \right) \sin \theta \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d} \phi$$ Po výpočte dvojitého integrálu (ktorý sa rozpadne na súčin 2 jednorozmerných integrálov) dostaneme $$I_S = \frac{I A}{2} \left[ - \cos \theta - \frac{1}{3} \cos^3 \theta \right]_0^{\pi} \left[ \phi \right]_0^{2\pi} = \frac{8 \pi}{3} I A \, .$$ Intenzita rozptylu je úmerná intenzite dopadajúceho svetla. Ich relatívny pomer sa nazýva účinný prierez $\sigma$ a udáva pravdepodobnosť rozptylu. Má rozmer plochy a dá sa interpretovať ako efektívna plocha, ktorú musí dopadajúce svetlo trafiť, aby rozptyl nastal. $$\sigma = \frac{I_S}{I} = \frac{8 \pi}{3} A \approx 5,57 \cdot 10^{-30}\, \mathrm{m^2} \, .$$ To je však iba rozptyl na jednej molekule. V atmosfére ich máme viac. Ak vynásobíme účinný prierez hustotou počtu molekúl, tak dostaneme veličinu s rozmerom $\mathrm{m^{-1}}$, ktorá vyjadruje účinnosť rozptylu na dĺžku $l$ prejdenej atmosféry. Keďže intenzita bude znížená o toto rozptýlené svetlo, zodpovedá to relatívnemu poklesu intenzity svetla v médiu (Lambertov-Beerov zákon) $$\frac{\mathrm{d} I}{I} = - \sigma \rho_N \, \mathrm{d} l ~ ~ \implies ~ ~ I = I_0 e^{- \sigma \rho_N l} \, .$$ Odvodili sme teda intenzitu nerozptýleného svetla v atmosfére. Na vrchu atmosféry je intenzita $I_0$ a po prejdení dĺžky $l$ atmosférou je intenzita zoslabená na $I$. Ak si definujeme výšku od zeme ako $z$ ($z=0$ zodpovedá zemi a $z = H$ zodpovedá hornej vrstve atmosféry), tak pri zenitovom uhle dopadu $\alpha$ bude intenzita vo výške $z$ zodpovedať vzťahu $$I(z) = I_0 e^{- \frac{\sigma \rho_N (H-z)}{\cos \alpha}} \, .$$ Ak máme na zemi ($z=0$) plochu veľkosti $S$, tak intenzita priameho UV žiarenia na túto plochu bude $$I_{direct} = I(0) S \cos \alpha = I_0 S \cos(\alpha) e^{- \frac{\sigma \rho_N H}{\cos \alpha}} \, .$$ Faktor $\cos(\alpha)$ zodpovedá efektu, že plocha $S$ na zemi s pohľadu Slnka je pod uhlom a efektívne má menší povrch.

Pre intenzitu rozptýleného UV žiarenia potrebujeme spočítať celkovú intenzitu rozptýleného svetla z celej atmosféry na danú plochu $S$. To znie na prvý pohľad ako komplikovaný integrál cez všetky možné rozptylové centrá.

Predpokladajme, že naša plocha $S$ je relatívne (skoro nekonečne) malá a nachádza sa v bode $x = 0$, $y = 0$, $z = 0$. V súradniciach $(x,y,z)$ sa nachádza malý objem atmosféry $\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$, v ktorom je $\mathrm{d}N = \rho_N \, \mathrm{d}V$ molekúl. Svetlo prechádzajúce týmto objemom sa rozptýli do všetkých smerov, ale nás bude zaujímať iba rozptyl smerom na plochu $S$ do malého priestorového uhla $\Omega_S$, ktoré zodpovedá ploche $S$ z pohľadu bodu $(x,y,z)$. Príspevok rozptylu je teda $$\mathrm{d} I_{indirect} = \rho_N \, \mathrm{d}V I(z) \frac{1 + \cos^2 \theta_S}{2} A \Omega_S \, ,$$ kde $\theta_S$ je uhol rozptylu smerom na plochu $S$. Preintegrujeme teda cez celý objem atmosféry príspevky rozptylu. $$I_{indirect} = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{0}^{H} \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \rho_N I(z) \frac{1 + \cos^2 \theta_S}{2} A \Omega_S$$ Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že Slnko svieti na Zem v smere vektora $\vec v_1 = (\sin \alpha,0,- \cos \alpha)$. Po rozptyle musí mať smer od bodu $(x,y,z)$ do bodu $(0,0,0)$, teda v smere vektora $\vec v_2 = (-x,-y,-z)$. Potom vieme $\cos \theta_S$ vypočítať zo skalárneho súčinu týchto vektorov $$\vec v_1 \cdot \vec v_2 = |\vec v_1| |\vec v_2| \cos \theta_S ~ ~ \implies ~ ~ \cos \theta_S = - \frac{x \sin \alpha + z \cos \alpha}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$ Na výpočet priestorového uhlu $\Omega_S$ musíme najprv vypočítať zdanlivú veľkosť plochy $S$ a vydeliť ju druhou mocninou vzdialenosti plochy od bodu $(x,y,z)$ (priestorový uhol predstavuje plochu na povrchu jednotkovej gule, preto pri preškálovaní plochy na vzdialenosť 1 treba plochu vydeliť $R^2$). Plocha $S$ má normálu $\vec v_3 = (0,0,1)$ a smer od bodu $(0,0,0)$ do bodu $(x,y,z)$ je $\vec v_4 = (x,y,z)$. Plocha sa javí menšia lebo sa na ňu pozerá pod uhlom. Je zmenšená o faktor $\cos \Theta$, kde uhol $\Theta$ je uhol medzi vektormi $\vec v_3$ a $\vec v_4$. Použitím skalárneho súčinu dostaneme $$\cos \Theta = \frac{\vec v_3 \cdot \vec v_4}{|\vec v_3| |\vec v_4|} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \, .$$ Priestorový uhol $\Omega_S$ je potom $$\Omega_S = \frac{S \cos \Theta}{R^2} = \frac{S z}{\left( x^2 + y^2 + z^2\right)^{\frac{3}{2}}} \, .$$ Keď dosadíme všetky vzťahy do rovnice pre intenzitu rozptýleného UV žiarenia, tak dostaneme $$I_{indirect} = \frac{1}{2} \rho_N I_0 S A \int_{0}^{H} \mathrm{d}z \, e^{- \frac{\sigma \rho_N (H-z)}{\cos \alpha}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \left[ 1 + \frac{\left( x \sin \alpha + z \cos \alpha \right)^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right] \frac{z}{\left( x^2 + y^2 + z^2\right)^{\frac{3}{2}}}$$ Opakovaným použitím nasledujúcich integrálov $$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2 + a^2} \mathrm{d}x &= \frac{\pi}{a} \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2 + a^2)^2} \mathrm{d}x &= \frac{\pi}{2 a^3} \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + a^2)^2} \mathrm{d}x &= \frac{\pi}{2 a} \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2 + a^2)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{d}x &= \frac{2}{a^2} \\ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{(x^2 + a^2)^{\frac{5}{2}}} \mathrm{d}x &= \frac{4}{3 a^4} \end{aligned}$$ nakoniec dostaneme $$I_{indirect} = I_0 S \cos(\alpha) \frac{1}{2} \left( 1 - e^{- \frac{\sigma \rho_N H}{\cos \alpha}} \right) \, .$$ Intenzitu rozptýleného UV žiarenia sa však dá vypočítať aj bez týchto integrálov. Ak sa vrátime k pôvodnému vzťahu $$I_{indirect} = S \rho_N \int_{0}^{H} \mathrm{d}z \, e^{- \frac{\sigma \rho_N (H-z)}{\cos \alpha}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} I_0 \frac{1 + \cos^2 \theta_S}{2} A \frac{\cos \Theta}{R^2} \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y \, .$$ Môžeme si všimnúť, že člen $\frac{\cos \Theta}{R^2} \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$ zodpovedá priestorovému uhlu plochy $\mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$ z pohľadu bodu $(0,0,0)$. Ide teda efektívne o $\mathrm{d} \Omega$. Druhý integrál je pôvodne celková intenzita rozptýleného svetla dopadajúceho pod uhlom $\alpha$ na body roviny $(x,y,z)$ do bodu $(0,0,0)$, ale dá sa tiež interpretovať ako intenzita rozptýleného svetla dopadajúceho pod uhlom $\alpha$ na bode $(0,0,0)$ do všetkých bodov roviny $(x,y,z)$. Táto rovina predstavuje presne polovicu celkového priestorového uhla. Vďaka istej symetrii (intenzita rozptylu do opačných smerov je rovnaká) vieme povedať, že druhý integrál je polovica intenzity celkového rozptýleného svetla. $$I_{indirect} = S \rho_N \int_{0}^{H} \mathrm{d}z \, e^{- \frac{\sigma \rho_N (H-z)}{\cos \alpha}} \frac{1}{2} \frac{8 \pi}{4} I_0 A$$ Dopočítaním jednoduchého integrálu tak dostaneme $$I_{indirect} = S \rho_N \frac{1}{2} \frac{8 \pi}{4} I_0 A \left[ \frac{\cos \alpha}{\sigma \rho_N } e^{- \frac{\sigma \rho_N (H-z)}{\cos \alpha}} \right]_0^H = I_0 S \cos(\alpha) \frac{1}{2} \left( 1 - e^{- \frac{\sigma \rho_N H}{\cos \alpha}} \right) \, .$$ Na plochu teda dopadne polovica inak rozptýleného žiarenia.

Riešenie bez veľa integrálov

Celý proces rozptylu vie byť veľmi komplikovaný, ale ak sa naň pozrieme z makroskopického hľadiska, tak sa dá jednoducho pochopiť. Svetlo sa nikde neakumuluje, preto platí, že čo do atmosféry vstúpi, tak z nej aj vystúpi. Celkový tok do a z atmosféry sa dá rozdeliť na:

• $I_0 \cos \alpha$ – intenzita svetla, ktorá vstupuje do atmosféry v jej vrchnej vrstve (faktor $\cos \alpha$ je tu kvôli tomu, že svetlo nedopadá na vrchnú vrstvu atmosféry kolmo),

• $I_{direct}$ – intenzita svetla, ktoré vystupuje z atmosféry v jej spodnej vrstve a nebolo rozptýlené,

• $I_{indirect}$ – intenzita svetla, ktoré vystupuje z atmosféry v jej spodnej vrstve a bolo raz rozptýlené,

• $I_{space}$ – intenzita svetla, ktoré vystupuje z atmosféry v jej vrchnej vrstve a bolo raz rozptýlené (smeruje do vesmíru).

Zo zákona zachovania energie je súčet vstupných tokov rovný súčtu výstupných tokov. $$I_0 \cos \alpha = I_{direct} + I_{indirect} + I_{space} \, .$$ Dodatočne vieme, že Rayleighov rozptyl v smere $\theta$ a ${180}^\circ - \theta$ majú rovnakú intenzitu (keďže vzťah záleží iba na faktore $\cos^2 \theta$). Tieto dva smery sú si navzájom opačné, takže množstvo rozptýleného svetla do spodnej vrstvy (na Zem) sa rovná množstvu rozptýleného svetla do vrchnej vrstvy (do vesmíru). Platí teda $I_{indirect} = I_{space}$. Intenzitu $I_{direct}$ sme už vypočítali v predchádzajúcej časti. Ak dáme tieto dve informácie dokopy, tak dostaneme $$\begin{aligned} I_{direct} &= I_0 \cos(\alpha) e^{- \frac{\sigma \rho_N H}{\cos \alpha}} \, , \\ I_{indirect} &= \frac{I_0 \cos \alpha - I_{direct}}{2} = \frac{1}{2} I_0 \cos(\alpha) \left( 1 - e^{- \frac{\sigma \rho_N H}{\cos \alpha}} \right) \, . \end{aligned}$$ Ak si zobrazíme závislosť intenzít pre parameter $\sigma \rho_N H \approx 1,20$ (obrázok 1), tak vidíme, že rozptýlená intenzita je väčšia ako priama intenzita a dá sa teda opáliť nie len z priameho slnka, ale aj z rozptýleného svetla z oblohy.

Obrázok 1: Závislosť priameho a nepriameho žiarenia na Zemi na zenitovom uhle $\alpha$.

V realite je situácia komplikovanejšia a to z týchto dôvodov:

• Atmosféra nie je homogénna, statická, nemá rovnakú teplotu, tlak a zloženie s výškou. Žiarenie bude rozptýlené nerovnomerne a v rôznych výškach.

• Svetlo sa môže rozptyľovať neobmedzene veľakrát. To by však vyžadovalo postupne pridávať intenzity svetla po viacerých rozptylov a znižovať intenzitu rozptýleného svetla.

• Atmosféra obsahuje aj veľa častíc (vodné kvapky, oblaky, opar) väčších ako vlnová dĺžka svetla. Rozptyl na týchto časticiach sa neriadi podľa Rayleighovho rozptylu alebo podľa Mieovho rozptylu alebo optického rozptylu (kvôli tomu sú oblaky biele).

• Častice a molekuly atmosféry (kvapky, oxidu uhličitý, ozón, vodná para atď.) môžu svetlo absorbovať, čo môže spôsobiť pokles intenzít.

• Rayleighov rozptyl závisí veľmi silne na vlnovej dĺžke žiarenia. Opálenie a spálenie spôsobujú celé úseky vlnových dĺžok, ktoré sa prelínajú, ale nie sú totožné.

• V realite sú okolo vás ďalšie objekty (budovy, stromy, slnečníky atď.), ktoré blokujú časť oblohy (znižujú intenzitu rozptýleného svetla) alebo svetlo odrážajú (zvyšujú intenzitu rozptýleného svetla).

Long story short, natierajte sa opaľovacím krémom vždy.