Hustota neutrónov

Podľa Wikipedie je priemerný polomer neutrónu $r=\SI{0.8}{fm}$. Vystačíme si s rádovým odhadom. Čiže ak napríklad zoberieme, že objem pripadajúci na jeden neutrón je kocka so stranou $a=2r$, tak potom hustota počtu neutrónov je $$n= \frac{1}{V}=\frac{1}{a^3}=\frac{1}{8 r^3}=2,4 \cdot 10^{44} \, \mathrm{m}^{-3} \,.$$

Stredná voľná dráha

Voľná dráha je vzdialenosť od jednej zrážky po druhú. Nás zaujíma jej priemerná hodnota. Vždy keď neutríno prejde vzdialenosť $\mathrm{d}x$, tak zinteraguje, pokiaľ je vo valci s výškou $\mathrm{d}x$ a podstavou $\sigma$ stred nejakého neutrónu. Takýto valec má objem $\mathrm{d}V=\sigma \,\mathrm{d}x$ a teda pravdepodobnosť, že sa v tom objeme nachádza stred neutrónu je $\mathrm{d}P=n \,\mathrm{d}V=n \sigma \,\mathrm{d}x$. Ak sa v ňom nachádza, tak dôjde k interakcii (a my sme dosiahli voľnú dráhu neutrónu $x$). Ak nie, neutríno pokračuje ďalej a proces sa opakuje. Dôležité je všimnúť si, že neutríno zinteraguje s rovnakou pravdepodobnosťou $\mathrm{d}P$ hocikedy počas dráhy, pretože tá nezávisí na už prejdenej vzdialenosti $x$. Keď sa pozrieme na definíciu exponenciálneho rozdelenia, vidíme, že to tento proces tomu presne zodpovedá (konkrétne zodpovedá exponenciálnemu rozdeleniu s parametrom $\lambda=n \sigma$). Potom môžeme dosadiť do vzorca na strednú hodnotu exponenciálneho rozdelenia a máme strednú voľnú dráhu $$l=\frac{1}{n \sigma} \approx 4 \, \mathrm{m} \,.$$

Doba úniku

Začneme simuláciou. Tento kód je písaný v Julii, čo je jazyk veľmi podobný Python-u, ale beží výrazne rýchlejšie. Preto je to podľa mňa ideálny programovací jazyk pre fyzikov.

using Statistics

R = 10_000.0
R2 = R * R
l = 4
N = 300
ls = zeros(N)

for i in 1:N
    x, y, z = 0.0, 0.0, 0.0
    l_sum = 0.0
    counter = 0

    while (x^2 + y^2 + z^2) < R2
        counter += 1
        li = l * (-log(rand()))
        l_sum += li
        phi = 2 * pi * rand()
        zi = 2 * rand() - 1
        x += li * sqrt(1 - zi^2) * sin(phi)
        y += li * sqrt(1 - zi^2) * cos(phi)
        z += li * zi
    end

    ls[i] = l_sum
end

tR = mean(ls) / 3 / 1e8
Dtr = std(ls) / 3 / 1e8

Vysvetlime si, ako kód funguje. Najprv si nastavím nejaké konštanty ako polomer hviezdy $R$, stredná dráha $l$, alebo počet opakovaní $N$. No a potom teda $N$-krát zopakujem experiment: na začiatku nastavím súradnice na nuly (stred hviezdy). Potom skontrolujem, či neutríno uletelo z hviezdy (ak súčet štvorcov jeho súradníc je väčší ako štvorec polomeru). Teda budem robiť kroky dovtedy, kým taká situácia nenastane. Zostáva vysvetliť, ako spravím jeden krok. V predchádzajúcej sekcii sme si povedali, že vzdialenosť medzi dvoma nárazmi (dĺžka kroku) je z exponenciálneho rozdelenia so strednou hodnotou 4 metre. To môžem získať napríklad tak, že rozdelenie zintegrujem (získam kumulatívnu distribučnú funkciu, jej obor hodnôt je 0 až 1), potom už len tento vzťah invertujem. Vygenerujem (uniformne) číslo od 0 do 1 a nájdem jemu prislúchajúcu hodnotu náhodnej premennej. Zostáva náhodne určiť smer (čiže vygenerovať bod na povrchu jednotkovej gule). Na to je viacero možností, ja som vygeneroval náhodný uhol v rovine $x$-$y$ a náhodné $z$ uniformne od $-1$ po $1$. Že toto skutočne funguje, je trocha kontraintuitívne, ale je to tak. Priamočiarejšia možnosť by bola vygenerovať 3 čísla z Gaussovho rozdelenia so stredom v 0 a výsledný vektor správne prenormovať na veľkosť 1. Musím si ukladať jednotlivé prejdené dĺžky a keď neutríno vyletí, tak si tento súčet uložím (neriešim, že časť poslednej dráhy bude mimo hviezdu, lebo to budú metre, kým celková dráha budú minimálne kilometre). Nakoniec si z týchto drách zrátam priemer a odchýlku a oboje vydelím rýchlosťou svetla, aby som dostal čas. Zo simulácie dostaneme priemerný čas $t_R=0,04 \, \mathrm{s}$ a odchýlku $\sigma_t=0,03 \, \mathrm{s}$. Ešte som potom vykrelil distribúciu časov.

Obrázok 1: Hustota pravdepodobnosti času úniku.

Čo sa týka analytických odhadov: úplne rovnaké správanie majú tzv. častice, ktoré sa spomínajú napríklad v článku “The statistical physics of active matter: From self-catalytic colloids to living cells” (arXiv verzia). Tieto (dôležité je uvedomiť si, že tu sa už nebavíme o subatomárnych časticiach, ale napríklad o baktériách) sú jedným z príkladov takzvaných aktívnych častíc (v článku sa môžete dočítať aj o tých ďalších), čo sú častice, ktoré používajú energiu z prostredia na svoj mechanický pohyb. Nás zaujíma efektívna difúzna konštanta takýchto častíc, pre ktorú spomínaný článok udáva vzorec $$D_{ac}=\mu_t v_0^2 \tau /d \,,$$ kde $\mu_t$ je akýsi prevrátený odpor prostredia. Ten je dôležitý pre baktérie, ale v prípade neutrína nehrá úlohu, čiže ho môžeme ignorovať (rozumej položiť rovný 1). Rýchlosť je prakticky rýchlosť svetla $v_0=c$, čas $\tau=l/c$ je stredný čas medzi zmenami smeru a $d=3$ je dimenzia. Čiže v našom prípade dostaneme $D_{ac}=c l /3$.

Potom pre dostatočne dlhú náhodnú prechádzku (čo my by sme fakt mali mať) je stredná kvadratická vzdialenosť od počiatku úmerná $D t$, kde naše neutríno nerobí žiadnu pasívnu difúziu, čiže nám stačí zobrať $D=D_{ac}$ a dosadiť do vzťahu $$\langle r^2 (t) \rangle= 2 d D_{ac} t = 2 c l t\,.$$ Odhad času, za ktorý by teda malo nautríno vyletieť z hviezdy, dostaneme jednoducho tak, že položíme $\langle r^2 (t) \rangle=R^2$ a vyriešime pre $t_R$ $$t_R=\frac{R^2}{2 c l}=0,04 \, \mathrm{s} \,.$$ Tento analytický odhad sedí s výsledkom, čo sme záskali numericky. Jediný problém s analytickým prístupom je, že som nezvládol vymyslieť, ako analyticky spočítať rozptyl tohto času a to je toto moja oblasť výskumu.¹