Časť A vyžaduje znalosť vektorového kalkulu, zatiaľ čo časť B nie a môžete ju riešiť aj bez A. V časti A odvodíme známy Larmorov vzorec pre výkon vyžiarený zrýchľujúcim nábojom. V časti B si ukážeme dve zaujímavé využitia tohto vzorca.

Časť A

V tejto časti uvažujeme zoskupenie nábojovej hustoty, ktorá je lokalizovaná v malej časti priestoru a odvodíme, aké elektrické a magnetické pole pozoruje pozorovateľ ďaleko vzdialený od tohto zoskupenia. Takto sa napríklad zvyknú modelovať antény.

Keďže $\nabla \cdot \vec B = 0$, magnetické pole v priestore sa dá všeobecne napísať ako $B = \nabla\times \vec A$ pre nejaký vektorový potenciál $\vec A(\vec x, t)$. (Nasleduje motivácia) podobne ako pri (statickom) elektrickom poli, kde $\vec E = -\nabla \phi$. Potom vieme z Coulombovho zákona, že $$ \phi(\vec x) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_\mathcal{V} \frac{\rho(\vec x’)}{\left|\vec x - \vec x’\right|} \mathrm{d}^3\vec x’, $$ kde $\mathcal{V}$ je objem, v ktorom sa nachádza nábojová hustota $\rho$ a $\vec x’$ je integračná premenná.

Pre $\vec A$ vo veľkej vzdialenosti $r = |\vec x|$ od lokalizovanej prúdovej hustoty $\vec J$ platí vo všeobecne dynamickej situácii $$ \vec A(\vec x, t) = \frac{\mu_0}{4\pi r} \int\limits_\mathcal{V} \vec J(\vec x’, t- r/c) \mathrm{d}^3\vec x’ \quad + \quad \mathcal O\left(\frac{d}{\tau c}\right), $$ kde $d$ je charakteristický rozmer priestoru s nenulovou $\vec J$ a $\tau$ je charakteristický čas, na ktorej sa $\vec J$ mení. $O\left(\frac{d}{\tau c}\right)$ teda obsahuje relativistické korekcie.

1. Odôvodnite, prečo sa v argumente času $\vec J$ v integráli nachádza $t - r/c$ a nie $t$.

2. S využitím toho, že $$ \frac{\partial}{\partial x_j}(J_j x_i) = \left(\frac{\partial}{\partial x_j} J_j\right) x_i + J_i = -\dot \rho x_i + J_i $$ a Gaussovej integrálnej vety (divergence theorem) preveďte integrál pre $\vec A(\vec x, t)$ do podoby $$ \vec A(\vec x, t) = \frac{\mu_0}{4\pi r} \dot{\vec{p}}(t - r/c) \quad + \quad O\left(\frac{d}{\tau c}\right), $$ kde $\vec p$ je dipólový moment zoskupenia nábojov $\rho$.

3. Pomocou $\vec A$ vypočítajte $\vec B$. Čo musí platiť, aby sme mohli približne ignorovať člen $1/r^2$ a ponechať len $1/r$? V nasledujúcich výpočtoch pokračujte už len s členom úmerným $1/r$.

4. Nájdite elektrické pole $\vec E$ do $\mathcal O(1/r)$ ďaleko od zdroja. (Nápoveda: stačí vám k tomu Ampérov zákon v tvare $\dot E = c^2 \nabla\times \vec B$)

5. Tok výkonu elektromagnetického žiarenia je daný Poyntingovým vektorom $\vec S = \frac{1}{\mu_0} \vec E \times \vec B$. Nájdite $\vec S$ vo veľkej vzdialenosti od zdroja. Integrovaním $\vec S$ cez povrch gule polomeru $R$ a urobením limity $R\to \infty$ ukážte, že vyžiarený výkon je $$ \mathcal P = \frac{\mu_0}{6\pi c} \left|\ddot{\vec p}\right|^2. $$

6. Objasnite, aké podmienky musia platiť, aby bol predošlý výsledok dobrou aproximáciou.

Časť B

1. Použitím rovnice z časti A, podúlohy (v) ukážte, že v klasickej fyzike elektrón obiehajúci okolo protónu po kružnicovej trajektórii je nestabilný a odhadnite za aký čas (rádovo) skolabuje. (Toto bol jedným z problémov klasickej fyziky, ktorý kvantová fyzika vyriešila).

2. Nerelativistická častica s hmotnosťou $m$ a nábojom $q$ sa hýbe v 1D v kladnom $x$ smere a narazí na „schodový potenciál“ $$ V(x) = \begin{cases} 0 & x < 0, \ f(x) & 0 \leq x \leq L, \ V_0 & L < x, \end{cases} $$ kde $f: [0, L] \to \mathbb R$ je monotónne rastúca, diferencovateľná funkcia s $f(0) = 0$ a $f(L) = V_0 > 0$.

3. Predpokladajte, že vyžiarená energia je zanedbateľná v porovnaní s celkovou energiou častice $E$, teda $$ E = \frac{1}{2}m \dot x^2 + V(x) $$ sa počas pohybu častice nemení. Pre $E > V_0$ ukáže, že celkový vyžiarený výkon je $$ \Delta E_{\text{Rad}} = \frac{q^2 \mu_0}{6\pi m^2 c} \sqrt{\frac{m}{2}} \int\limits_{0}^{L} \frac{1}{\sqrt{E - f(x)}} \left(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right)^2 dx. $$

Nájdite podobný vzorec pre $\Delta E_{\text{Rad}}$ v prípade, že $E < V_0$.

2. Zoberme si jednoduchý príklad $f(x) = V_0 x / L$. Vyjadrite explicitne $\Delta E_{\text{Rad}}$ v oboch prípadoch $E < V_0$ aj $E > V_0$. Nakreslite graf $\Delta E_{\text{Rad}}$ od $E$. Pre aké $E$ je $\Delta E_{\text{Rad}}$ maximálne?

3. Zopakujte ($\beta$) pre $f(x) = V_0 x^2/L^2$.

4. Zovšeobecnite pozorovanie toho, kedy nastáva maximum $\Delta E_{\text{Rad}}$ a dokážte svoje tvrdenie pomocou časti ($\alpha$).