Zoznam úloh

4. Fontána

Zadanie

Slávny vodotrysk v Ženeve strieka vodu rýchlosťou okolo $\SI{200}{\kilo\metre\per\hour}$ až do výšky $\SI{140}{\metre}$. Ak fúka ľahký vánok rýchlosťou $\SI{1}{\metre\per\second}$, ako ďaleko od zdroja vodotrysku dopadajú vodné kvapky na hladinu? Predpokladajte, že vodné kvapky s polomerom $\SI{1}{\mm}$ sa sformujú hneď pri vystrieknutí vody z ústia vodotrysku, a potom už mezi sebou neinteragujú. Taktiež po celú dobu predpokladajte laminárne prúdenie vzduchu okolo vodných kvapiek s odporom vzduchu závislým od rýchlosti lineárne ako $\vec F = - C \vec v$.

Najprv si treba uvedomiť, že odpor vzduchu v laminárnom režime záleží iba lineárne na veľkosti rýchlosti kvapiek voči vzduchu $F = -C v$. Následne vidíme, že po zložkách sa sila dá napísať ako: $$ F_x = -C v \frac{\dot{x}}{v} = -C \dot{x} $$ ,kde $\dot{x}$ je zložka rýchlosti v smere $x$. Analogicky podobná rovnica platí aj pre $F_y$.

Napíšeme si teda následne rovnice pohybu pre kvapku: $$ m \ddot{x} &= -C (\dot{x} - u) \ m \ddot{y} &= -g - C \dot{y} $$

$$ x(t) = u \left(\frac{m \left(e^{-\frac{C t}{m}}-1\right)}{C}+t\right) \ y(t) = \frac{m}{C^2} \left((1-e^{-\frac{C t}{m}} )(C {v_0}+g m)-C g t\right) $$

Podmienka $y(t_f) = 0$ pre čas dopadu $t_f$ dáva $$ (1-e^{-\frac{C t_f}{m}} )(C {v_0}+g m) =C g t_f $$ z čoho $$ x(t_f) &= u \left(\frac{m \left(e^{-\frac{C t}{m}}-1\right)}{C}+t_f\right) \ &= -u \frac{mgt_f}{Cv_0 + mg} + u t_f \ &= u \frac{Cv_0}{Cv_0 + mg} $$

Dalsia cast je zistit co je C a m.

Pre odovzdávanie sa musíš prihlásiť.
Trojsten

FX zastrešuje občianske združenie Trojsten.

Kontakt
Ďalšie projekty