3. Odpružené koryto
Zadanie
Uvažujme sústavu koryta s vodou a pružinkou zobrazenú na obrázku. Koryto na vodu je tvorené z pevnej steny (vľavo) a pohyblivej nehmotnej steny (vpravo), ktorá sa otáča okolo osi $O$. Keď koryto naplníme vodou s objemom $V$, tieto steny budú zvierať uhol $\alpha$. Spredu a zozadu je koryto utesnené stenami vzdialenými $L$ (dĺžka koryta). Výška pohyblivej steny je $R$. Pružinka má nulovú pokojovú dĺžku pri prázdnom koryte, tuhosť $k$ a je upevnená na pevnej stene vo vzdialenosti $R$ od osi $O$ a na konci pohyblivej steny tiež vo vzdialenosti $R$ od osi $O$.
Figure 1: Koryto
-
Pomocou rovnováhy síl nájdite vzťah medzi uhlom $\alpha$ a objemom $V$ vody v koryte. Následne zistite maximálny objem $V_M$ vody, ktorý je koryto schopné udržať v rovnováhe. V tejto podúlohe predpokladajte, že koryto je dostatočne veľké na to, aby sa doň voda zmestila fyzicky.
-
Teraz, pre daný uhol $\alpha$, geometricky nájdite objem vody $V_P$, pri ktorom je koryto naplnené vodou až po okraj (horný koniec pohyblivej steny).
-
Kedy sa objemy $V_M$ a $V_P$ zhodujú, a aká by vtedy musela byť tuhosť $k_{MP}$ pružinky?
-
Do koryta s pružinou s tuhosťou $k \ll k_{MP}$ prilievame vodu prítokom $Q$. Predpokladajte, že tento prítok je dostatočne malý na to, že koryto je vždy v rovnováhe. Popíšte čo sa bude diať. Myslite na to, že niektoré rovnovážne polohy môžu byť nestabilné.
- cast: rovnovaha momentov
-
Moment pruziny: $$ M_1 = F d = k \sqrt{2 R^2 - 2 R^2 \cos\alpha} \, d $$ kde $d$ je rameno, ktore sa da ziskat z $\cos\alpha/2 = R/d$, takze $$ M_1 = k R^2 \frac{\sqrt{2 - 2 \cos\alpha}}{\cos (\alpha/2)} $$
-
Moment gravitacie. Nech $x_{max}$ je poloha hladiny vody pozdlz kolmej steny. Potom objem vody je $V = \frac{1}{2} L x_{max}^2$. Moment ziskame ako integral momentu tlakovej sily vody na naklonenu stenu. Plocha $\dd S = L \dd x / \cos\alpha$ cez $x \in (0, x_{max})$ :
$$ M_2 &= \int_0^{x_{max}} \underbrace{\frac{x}{\cos\alpha}}\text{rameno} \frac{p(x) L}{\cos\alpha} \,\dd x \ &= \int_0^{x \,\dd x \ $$}} \frac{x}{\cos\alpha}\frac{\rho g (x_{max} - x) L}{\cos\alpha
po integracii $$ M_2 = \frac{\rho g L}{2 \cos^2\alpha} \left(\frac{x_{max}^3}{2} - \frac{x_{max}^3}{3}\right) = \frac{\rho g V}{6 \cos^2\alpha} \sqrt{\frac{2 V}{L}} $$
Rovnovaha nastava ked $M_1 = M_2$. Napiseme si rovnovahu tak, ze prava strana je iba funkcia $\alpha$ a lava obsahuje vsetko ostatne: $$ \frac{ \rho g }{6 k R^2 \sqrt{L}} V^{3/2} = \frac{\sqrt{1-\cos\alpha}}{\cos\alpha/2} \cos^2\alpha \equiv f(\alpha) $$
Aby sme zistili co sa deje, teraz mozme vyrobit graf pravej strany $f(\alpha)$ :
Vidime ze pre $V=0$ je optimalna poloha $\alpha = 0$, co znie fajn. Ako sa zacne prilievat voda, rovnovaha sa posuva, az kym sa nedostaneme ku vrcholu tejto funkcie $f(\alpha)$. Ten sa da nast zderivovanim alebo pouzitim WolframAlpha. Vysledok je $\alpha_{M} = 2 \arctan\sqrt{\sqrt{17} - 4} \approx 0.6749$. V tom momente je pravá strana rovná: $f(\alpha_M) \approx 0.3$.
Preto celkovyt objem $V_M$: $$ V_M = \left( \frac{6kR^2 \sqrt{L}}{\rho g } \right)^{2/3} f^{2/3} (\alpha_M) $$
- cast
Teraz treba zistit ci sa tam tento objem vody vobec zmesti. Ak je nas uhol $\alpha$, do koryta sa geometricky zmesti objem: $$ V_{P}(\alpha) = \frac{L R^2}{2} \sin\alpha \cos\alpha $$ Všimnime si, že oba objemy sa dajú funkcionálne zapísať ako súčin funkcie parametrov systému a uhlu. :
Maximálny objem $V_M \propto R^{4/3}$, zatial co $V_{P} \propto R^2$. Ak si tieto funkcie nakreslime zistime, ze pre velke $R$ plati $V_M < V_{P}$ , cize koryto sa naozaj vie napustit do maximalneho objemu. Zatial co pre male $R$ toto neplati, a koryto sa skor zacne vylievat.
Teraz staci vyjadrit $k_{MP}$ z podmienky $V_M = V_P$. $$ k_{MP} = \dots $$
- Pre $k<<k_{MP}$ je geometricka podmienka vzdy satisfied, takze staci zistit ktore polohy su stabilne. Vdaka tomu, ze iba moment gravitacie zavisi od objemu, sa toto sa da vycitat z grafu f($\alpha$). Po kritick objem $V<V_M$ su polohy stabilne, a nad $V_M$ su labilne.
Cize koryto sa bude pomaly naplnat a followovat stabilnu polohu podla grafu $f(\alpha$) az kym dosiahne objem $V_M$ kedy sa preklopi a vyleje.
