Máme gravitačne viazané teleso, napríklad homogénnu guľu. Asi tušíte, že na jej rozdelenie na jednotlivé čiastočky musíme vynaložiť určitú energiu, ktorú nazveme gravitačná väzbová energia. Lenže podľa $E = mc^2$ by teda potom hmotnosť Zeme mala byť odlišná, ako súčet hmotností jej zložiek. Spočítajte o koľko. (Dbajte aj na znamienko tejto zmeny.)
Je tento výsledok univerzálny, t. j. platí pre rôzne tvary homogénneho telesa? Svoje tvrdenie odargumentujte.
Najskôr je potrebné zrátať túto väzobnú energiu. Predstavme si že pridávame hmotu postupne, pričom vždy získame energiu $dE$: $$ dE = -\frac{G m}{r} dm = -\frac{G \rho (4/3)\pi r^3}{r} 4 \pi r^2 d r $$
integrovaním získame:
$$ E_p = -\frac{3}{5} \frac{GM^2}{R} $$
Následne, podľa $E = m c^2$ máme: $$ \Delta M = -\frac{3}{5} \frac{GM}{R c^2} $$
Závisí na tvare, lebo $dE$ vyzerá inak pre iný tvar telesa. (Dá sa dokázať aj protipríkladom.)
FX zastrešuje občianske združenie Trojsten.
Trojsten, o.z.
FMFI UK, Mlynská dolina
842 48 Bratislava
Úlohy pre bežných smrteľníkov
Tímová fyzikálna súťaž pre stredoškolákov
Intenzívny fyzikálny zážitok v lete