Prvá časť

• Základný princíp spočíva v tom, že Zem nie je stacionárna, ale rotuje okolo svojej osi s periódou jeden deň. Aj keď rýchlosť pohybu okolo (???)

• To pridáva konštatnú rýchlosť $u = \omega R$, na ktorú Samo zabudol. Rotácia Zeme je takisto zápletka spomínaného filmu, kde nakoniec zistia že majú o jeden deň naviac. (V princípe je to tak nepriama nápoveda ku správnemu riešeniu).

• Ak pridáme túto rýchlosť do faktoru $\gamma$, získame $\gamma_{stacio}$ a $\gamma_{pohyb}$ pre hodiny, ktoré sú $$ \begin{aligned} \gamma_{stacio} &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}, \gamma_{pohyb} &= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{(v+u)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2 + v^2 + 2 u v}{c^2}}} \approx \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2 + 2 u v}{c^2}}}, \end{aligned} $$ takže rozdiel časových dilatácií je: $$ \begin{aligned} \Delta t = t_0 (\gamma_{pohyb} - \gamma_{stacio}) &= t_0 \left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} - \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2 + 2 u v}{c^2}}} \right) \ &\approx t_0 \left( 1 + \frac{u^2}{2 c^2} - 1 - \frac{u^2 + 2 v u}{2 c^2}\right) \ &= -t_0 \frac{2 v u}{2 c^2} \ &= -\frac{2 \pi R}{v} \frac{2 v u}{2 c^2} \ &= -\frac{4 \pi R^2\omega}{c^2}, \end{aligned} $$ čo je výsledok, ktorý nezávisí od rýchlosti, a teda aj pre nekonečne pomalého cestovateľa bude časová dilatácia nenulová.

Druhá časť

Čo ak trajektória nie je po rovníku? Potom sa rýchlosti sčítavajú pomocou Pytagorovej vety: $$ v^2 = v_{\parallel}^2 + v_{\perp}^2 $$ kde $v_{\parallel}$, $v_{\perp}$ sú zložky rýchlosti cestovateľa pozdĺž a kolmo na rovnobežky.

Ku rýchlosti po rovnobežke musíme pričítať rýchlosť Zeme v danom bode. Tá je $u = \omega R \sin \theta$, čiže celková rýchlosť je: $$ \begin{aligned} \gamma_{pohyb}&= \left(1- \frac{v_{\perp}^2 + (\omega R \sin\theta + v_{\parallel})^2}{c^2} \right)^{-1/2} \ &\approx \left(1 + \cancel{\frac{v_{\perp}^2}{2c^2}} + \frac{\omega^2 R^2\sin^2\theta}{2 c^2} + \frac{2 \omega R v_{\parallel} \sin\theta }{2 c^2} + \cancel{\frac{v_{\parallel}^2}{2 c^2}} \right) \end{aligned} $$ zatiaľ čo $\gamma_{stacio} = \left(1-\frac{\omega^2 R^2 \sin^2 \theta}{c^2}\right)^{-1/2} \approx \left(1 + \frac{(\omega R \sin\theta)^2}{2c^2}\right)$.

Rozdiel časov je integrál: $$ \Delta t = \int \mathrm{d}t = \int (\gamma_{pohyb} - \gamma_{stacio}) \frac{R \mathrm{d}\phi}{v_{\parallel}}. $$

Teraz sa dá použiť hint a predstaviť si všetko z projekcie. Všetky časti $R \sin\theta$ sú v tejto projekcii iba kolmé vzdialenosti ku severnému pólu. V tom prípade stačí ak ich nahradíme $r = R\sin\theta$ a integrál je cez polárny uhol $\phi$. Dostávame $$ \fdiff t = \frac{R\omega}{c^2} \Int{r}{\phi}. $$

Veľkosť integrálu je iba plocha v polárnych súradniciach. Inak povedané, je to plocha vnútri trajektórie, ak sa na ňu pozrieme z projekcie v hinte.

Navrhované bodovanie

• 3 body za zistenie správnej príčiny

• 3 body za správny výpočet (spolu s Taylorovym rozvojom)

• 3 body za dodatočnú úlohu