Uvažujme kvapalinu, pre ktorú platí rovnica kontinuity $$ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec v)=0. $$ kde $\vec v$ je rýchlosť kvapaliny a $\rho$ je hustota kvapaliny.

1. Za určitých podmienok môžeme definovať tzv. skalárny potenciál $\Phi$, pre ktorý platí $\vec v=\nabla\Phi$ a $\nabla^2\Phi=0$. Ukážte za akých podmienok tieto rovnice platia.

2. Ak je kvapalina v gravitačnom poli a má otvorený povrch, môžeme pre jej povrch ukázať, že platí $$ \left(\frac{\partial\Phi}{\partial z}+\frac{1}{g}\frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}\right)\Big\rvert_{povrch}=0 $$ Spočítajte vlny na povrchu nekonečnej kvapaliny s nekonečnou hĺbkou v homogénnom gravitačnom poli (Gravity waves). Ako bonus sa môžete pokúsiť dokázať uvedenú rovnicu.

3. Spočítajte vlny na povrchu kvapaliny v hranatej nádobe so stenami $a$, $b$ a s hĺbkou $h$ v homogénnom gravitačnom poli.

4. Spočítajte prechádzajúcu úlohu s tým, že sa jedná o viskóznu kvapalinu v nádobe, ktorou kmitáme v smere v rovine podstavy nádoby. Na výpočet môžete použiť Navier-Stokesovu pohybovú rovnicu $$ \frac{\partial\vec v}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec v=-\frac{1}{g}\nabla p+\nu\nabla^2\vec v. $$ kde $\vec v$ je rýchlosť kvapaliny, $p$ je tlak kvapaliny, $\rho$ je hustota kvapaliny a $\nu$ kinetická viskozita. Je dôležité si uvedomiť čo môžeme v rovnici zanedbať.