Peťo narazil na takýto príklad z fyziky:

Majme veľkú nádobu s priemerom $D$ naplnenú kvapalinou, ktorú roztočíme uhlovou rýchlosťou $\Omega$. Ak na vodu zasvietime zhora svetlo, odrazom od hladiny sa svetlo zaostrí do jedného bodu – ohniska. Nájdite, kde leží tento bod.

Zdal sa mu však veľmi nerealistický. Keď predsa roztočí vodu v pohári miešaním, nezdá sa mu, že by jej hladina mala dokonale parabolický povrch, ako napovedá zadanie. (Pozrite napríklad toto video: https://youtu.be/tbaDqpR5xFY)

Táto úloha bude o lepšom modeli, ktorý popisuje tvar povrchu tesne po miešaní.

1. Na zahriatie spočítajte tradičný príklad, zistite tvar hladiny a bod, kam sa zaostrí svetlo svietiace priamo zhora.

2. Ďalej vyhľadajte Navier-Stokesove rovnice pre nestlačitelnú kvapalinu s viskozitou vo vhodných súradniciach, kde je veľa členov nulových zo symetrie problému. Nájdite dve nezávislé riešenia pre časovo-nemenné prúdenie kvapaliny. Ako bude kvalitatívne vyzerať povrch v oboch prípadoch?

3. Pri riešení diferenciálnych rovníc nesmieme zabudnúť na tzv. okrajové podmienky: hodoty riešenia na okrajoch domény. Napíšte ich. Viete tieto podmienky implementovať do vašeho riešenia? Následne sformujte približný model, ktorý bude popisovať prúdenie kvapaliny, ktorú roztočíme v pohári. Dbajte hlavne na to, aby kvalitatívne povrch sedel s videom. ¹

4. Zistite, do ktorého bodu sa naozaj skoncentruje najviac svetla, ak vieme, že inflexný bod povrchu vody je vzdialený $a$ od osi pohára.