V tom príklade sa pokúsime odhadnúť ako súvisí množstvo zrážok, ktoré spadne na povrch Zeme s rýchlosťou ako sa nabíja oblak voči Zemi, a teda ako dlho potrvá kým udrie blesk. Teda to bude vašou úlohou :) Na priloženom obrázku môžete zhruba vidieť aké častice sa nachádzajú na rôznych miestach búrkového mračna. K hromadeniu náboja dochádza preto, lebo sa padajúce kvapôčky vody trú o častice ľadu a malé ľadovce (tzv. hail pelets a grapels), ktoré si môžeme pre jednoduchosť predstaviť ako dokonalé gule. V dôsledku tohoto procesu dochádza mechanickým spôsobom k indukovaniu elektrického náboja, vďaka čomu sa v oblaku po čase vytvorí kritické elektrické pole, v ktorom začnú ióny vo vzduchu viesť elektrický prúd.

* Častice v búrkovom mračne. *

Ľadovú guľu vo vonkajšom elektrickom poli $E$ si môžeme predstaviť ako dokonale vodivú guľu, ktorá sa dodatočne polarizuje pod vplyvom elektrického poľa tak, že jej horná polovica je kladne nabitá a dolná polovica nabitá záporne. Ak sa ľadová čiastočka nabila na elektrický náboj $-Q_R$, tak celkový náboj $q_r$, ktorý sa prenesie pri styku ľadovca a kvapiek vody na kvapku vody s polomerom $r$ je $$ q_r = \left(\frac{\pi}{2}E\varepsilon_0\cos\theta+\frac{\pi^2}{6}\frac{Q_R}{R^2}\right)r^2 $$.

Rýchlosť nabíjania ľadovcov v oblaku ($\mathrm{d}Q_R/dt$) je úmerná koncentrácii kvapiek vody $n_r$, prenesenému náboju pri jednej zrážke $q_r$, rýchlosti padajúceho ľadovca $V_R$ efektívnej relatívnej ploche $\sigma = 0.74$, ktorú vidia kvapky narážajúce do ľadovca pod uhlom $\theta$ meraného od „pólu“ ľadovca $\alpha \pi R^2 =\frac{2r}{R}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta} \pi R^2 \approx 0.017$, pre realistické hodnoty polomeru kvapiek a ľadovca.

• Ukážte, že pre rýchlosť nabíjania platí z predchádzajúcej úvahy nasledujúca rovnica a vyriešte túto rovnicu pre $Q_R(t)$.

$$ \frac{\mathrm{d}Q_r}{\mathrm{d}t} = -\sigma \alpha \pi R^2 V_R n_r q_r $$

V zvyšnej časti riešenia môžete predpokladať, že časová konštanta, ktorá sa objavila v riešení tejto rovnice je rovná $\tau = {\left(\frac{\pi^3}{6}\sigma V_R n_r\alpha r^2\right)}^{-1} \approx \SI{150}{\second}$. Význam tejto konštanty udáva časovú škálu, na ktorej dochádza k nabíjaniu ľadovcov v mračne.

Nárast elektrického poľa v mračne je potom úmerný koncentrácii ľadovcov, ich rýchlosti pádu $V_R$, a náboja $Q_R$ sčítaného cez ľadovce všetkých môžných polomerov $R$, $$ \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = - 4\pi \int_R\mathrm{d}R N_R Q_R V_R\text{.} $$ Naproti tomu je množstvo zrážok $p$, ktoré dopadne za jednotku času úmerné $$ \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} = \int_R\mathrm{d}R \frac{4}{3}\pi R^3 N_R \rho_i V_R\text{.} $$

• Jednoduchou argumentáciou ukážte, že tieto vzťahy sú dobre motivované. Využitím všetkých rovníc a predpokladu, realistického nárastu množstva zrážok na začiatku búrky k maximálnej hodnote $\SI{30}{\milli\metre\per\hour}$ za čas $10$ minút, $$ p(t) = 30\left(1-e^{-t/600}\,\text{mm}\text{h}^{-1}\right)\text{,} $$ nájdite čas, za ktorý udrie blesk po začatí búrky t.j. elektrické pole v oblaku dosiahne medznú hodnotu $E = \SI{4270}{\volt\per\centi\metre}$ (tzv. prierazné napätie), pri ktorej sa stáva vzduch elektricky vodivým v dôsledku ionizácie. „Pokojové“ elektrické pole Zeme má hodnotu približne $E_0 = \SI{5}{\volt\per\centi\metre}$.